Re: [obm-l] questao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 15, 2002 at 12:02:35PM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> Essa quest�p parece estar ainda muito acima do meu n�vel por enquanto,
> mas eu queria ver como se resolve... a� vai:
> 
> (XLII IMO) Sejam a, b, c, d inteiros com a>b>c>d>0.
> Considere que ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
> Prove que ab+cd n�o � um n�mero primo.

Esta foi uma das duas quest�es mais dif�ceis da IMO 2001.
Vale a pena tentar fazer sozinho, h� v�rios tipos de solu��es,
algumas bem elementares. Segue abaixo uma dica para uma solu��o
n�o elementar, n�o leiam se preferirem pensar sozinhos do zero.
 
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(XLII IMO) Sejam a, b, c, d inteiros com a>b>c>d>0.
Considere que ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
Prove que ab+cd n�o � um n�mero primo.


Reescreva a equa��o:

ac + bd = (b+d)^2 - (a-c)^2

(a-c)^2 + ac = (b+d)^2 - bd

a^2 - ac + c^2 = b^2 + bd + d^2

Seja w uma raiz c�bica primitiva da identidade.
Escreva agora a identidade como

 |a + cw| = |b - dw|

Agora use o que voc� sabe sobre Z[w],
o anel dos inteiros da forma x + yw com x, y inteiros...

A partir daqui n�o � dif�cil.

Em tempo, um dos estudantes americanos que tiraram 42 pontos
e eu pr�prio chegamos a esta solu��o independentemente.
Ele tem muito mais m�rito, claro, pois eu j� tinha visto
outras solu��es e tinha muito mais tempo.

[]s, N.
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