[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.

["David Daniel Turchick" <dturchic@xxxxxxxxxxxxxx>]

Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?

-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.


>Excelente.
>Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para
>transferir o problema do produto de senos para a soma de senos.
>Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe
>a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial?
>Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico"
>Mas valeu a elegancia da sua demonstracao.
>JP
>
>
>----- Original Message -----
>From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM
>Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.
>
>
>Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8
>utilizando as desigualdades das médias e de Jensen.
>
>Só relembrando as duas desigualdades:
>
>A desigualdade das médias é a seguinte: dados n
>números reais não negativos, sua média aritmética é
>maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e
>somente se, todos os n números são iguais.
>
>A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma
>função com convexidade para baixo num intervalo.
>Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a
>média aritmética das f's dos números é menor ou igual
>à f da média aritmética dos números.
>
>A função seno tem concavidade para baixo no intervalo
>[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo:
>    sen a sen b sen c
> <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3
> <= [sen((a+b+c)/3)]^3
>  = [sen((pi/2)/3)]^3
>  = 1/8
>
>Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo
>para mostrar que a função sen tem concavidade para
>baixo. Existe uma solução totalmente elementar que
>prova que
>  sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2
>para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro
>direito a identidade.
>
>[]'s
>Shine
>
>
>--- Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> wrote:
>> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em
>produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a:
> 4 sen 2a sen 2b sen 2c,
>> enquanto o lado direito eh igual a:
> 4 cos a cos b cos c.  Verifique se confere.
>> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a,
>etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) =
>sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com
>a+b+c=pi/2).
>
>> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se
>puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de
>Lagrange  mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c)
>com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8.
>> JP
>>
>
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