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Re: [obm-l] Teorema de Fermat
At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>Quais são as "raízes triviais" da função zeta?
Olá Rogério Godel Júnior,
A função zeta é definida inicialmente pela equação
zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z
complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo junto
com este email...lá embaixo)
Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor sentido.
Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
converge!!!! )
Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta para
todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
zeta(1/2+bi)...
Pode-se provar que vale o seguinte:
$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra? -
a que "generaliza" o fatorial)
Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
Os inteiros pares negativos são chamados "zeros triviais" de zeta.
Infelizmente, vc não vai achar isso num livro de lógica modal... Eu acho
melhor vc consultar o apostol de teoria analíica dos números...
Abração
Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime está fora do ar nesse fim de semana)
>>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>Date: Wed, 23 Jan 2002 12:54:08 -0200
>>
>>On Wed, Jan 23, 2002 at 07:58:54AM -0500, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
>> > Muito obrigado Ralph pelos comentarios sobre o enigma( ex) de Fermat.
>> > No livro simon Singh chamava o enigma de santo graal da matemática,
>> > classificando-o como o mais dificil de todos os tempos. Se o parâmetro
>> for os
>> > gênios que o tentaram resolver eu concordo, mas se fosse o tempo nâo.
>> Lembra
>> > dos tres antigos problemas clássicos? . A quadratura do circulo,
>> trissecção
>> > do angulo e duplicação do cubo( com régua e compasso), levaram mais de
>> 1600
>> > anos , até mostrarem que são problemas insolúveis.Qual o melhor
>> parâmetro pra
>> > julgar se este ou aquele problema é o mais dificil de todos os tempos?
>> Existe
>> > algo , hoje em dia, em qualquer área, que substitua o ultimo teorema de
>> > fermat??
>>
>>Em termos de antiguidade, os campeões absolutos, vindos desde a antiguidade
>>e em aberto até hoje, são: o problema da existência de números perfeitos
>>ímpares e o da infinitude do número de números perfeitos pares.
>>
>>Lembro que um inteiro positivo n é perfeito se a soma dos divisores
>>inteiros positivos de n menores do que n for n.
>>Os menores números perfeitos são
>>
>> 6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
>> 28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
>> 496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
>>
>>Não é difícil demostrar que n par é perfeito se e somente se n é na forma
>>n = 2^(p-1) (2^p - 1) onde Mp = 2^p - 1 é primo (um primo de Mersenne).
>>Ninguém sabe se existe algum número perfeito ímpar e ninguém sabe
>>demonstrar que existem infinitos primos de Mersenne (donde infinitos
>>números perfeitos pares).
>>
>>Este problema apesar de antigo não é considerado muito importante pela
>>maioria dos matemáticos. O problema em aberto em geral considerado mais
>>importante (mais importante até do que o último teorema de Fermat) é
>>a hipótese de Riemann generalizada. Bem, eu devo confessar que não entendo
>>tão bem assim pq a hipótese de Riemann é tão importante, não sei o
>>suficiente sobre as aplicações. Em todo caso a versão clássica
>>da hipótese de Riemann diz que as raízes (complexas)
>>não triviais da função zeta estão sobre a reta [(parte real de z) = 1/2].
>>
>>Uma versão elementar é a seguinte. Defina
>>
>>mu(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos;
>> 0 se n for múltiplo de algum quadrado.
>>
>>Os primeiros valores de mu são
>>
>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>mu(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 0 -1 0
>>
>>Defina M(n) como sendo a soma de mu(k), k = 1..n
>>
>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>M(n) 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
>>
>>A hipótese de Riemann consiste em afirmar que para todo a > 1/2 temos
>>
>> M(n)
>> lim -------- = 0
>> n -> infty n^a
>>
>>
>>[]s, N.
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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