Re: [obm-l] Conjectura de Haeser

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 01:55 25/01/02 -0200, you wrote:
>Olá pessoal da lista.
>
>Tenho uma pequena conjectura a anunciar, não sei se ela já existe, nem se
>ela é verdadeira, mas aí vai :

Oi,

Isto já é conhecido...se vc pega um polinômio de grau n, digamos 
f(x)=x^n+...+a_1 x+a_0, então a diferença delta(f)=f(x+1)-f(x) é n vezes um 
polinômio monico de grau n-1.

Não é difícil provar isto, e nem é difícil ver que isto implica o que vc 
descobriu. Observe que ao fazer a diferença, vc reduz o grau do polinomio. 
Como vc quer a enésima diferença (delta de delta de delta...de delta de f) 
de um polinomio de grau n, só vai sobrar um termo de grau zero, que veio do 
x^n que aparece em f(x). Ou seja, o resto do polinomio original some no 
processo. Então podemos supor f(x)=x^n. Mas aí é claro que delta(f)= n 
vezes um polinômio monico de grau n-1. O resto segue fácil por indução. (ou 
poderíamos ter usado que delta (f+g)=delta (f)+delta(g) )

Você pode ve isto com mais detalhes num livro de diferenças finitas.

Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite


>Dada uma sequência de n+1 potências consecutivas de n (1^n,2^n,..,(n+1)^n
>é um exemplo)
>
>faça a subtração dos termos consecutivos e teremos uma nova sequência, agora
>com n elementos:
>{(n+1)^n-n^n,n^n-(n-1)^n,2^n-1^n}
>
>repita o procedimento n vezes e obteremos apenas um número que é n! (n 
>fatorial)
>
>veja um exemplo :
>
>9³ - 8³ - 7³ - 6³ - 5³ - 4³ - 3³ - 2³ - 1³ - 0³
>__217__169__127__91___61___37___19____7____1
>_____48___42___36___30__24___18____12___6
>________6____6____6___6____6____6_____6
>6=2*3=3!
>
>será que alguém poderia me ajudar a esclarecer ??
>Obrigado !
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