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Re: [obm-l] analitica



Title: Re: [obm-l] analitica
 
-----Mensagem original-----
De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 23 de Janeiro de 2002 23:47
Assunto: Re: [obm-l] analitica

Desculpe pelo erro... aí vai o enunciado correto
 
ime-2002
 
Considere uma parábola de eixo foca OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto p e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola.
 
----- Original Message -----
Sent: Friday, January 25, 2002 10:17 PM
Subject: Re: [obm-l] analitica

Voce tem que explicar melhor qual eh o problema.
"Pontos das subnormais (?)".
Wagner.

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From: iver@infonet.com.br (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves)
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] analitica
Date: Wed, Jan 23, 2002, 18:06


Será q dava pra alguém mostrar o resultado da questão abaixo?
 
ime-2002
 
Considere uma parábola de eixo foca OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto p e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos das subnormais dessa parábola.
 
desde jah agradeço,
 
hugo

solução:seja 2p o parametro da parabola de equação y^2=4px , seja P um ponto da parabola  e M um ponto medio da subnormal então:

Cálculo do coeficiente angular a’ da subnormal:

a) derivada da equação da parábola em função de y:

x’ = 2y / 4p

x’ = y / 2p

b) valor da derivada no ponto P:

x’(yp) = yp / 2p

c) coeficiente angular a’(perpendicular à tangente em P):

a’ = - 2p / yp

Cálculo da equação da reta suporte da subnormal:

x – xp = a’(y - yp)

x – xp = -2p/yp . (y – yp)

x.yp – xp.yp = -2p.y + 2p.yp

Cálculo do ponto do eixo x pertencente à subnormal:

a) fazendo y = 0:

x.yp – xp.yp = 2p.yp

b) isolando x:

x = (2p.yp + xp.yp) / yp

Cálculo do ponto M:

a) xm = [xp + (2p.yp + xp.yp) / yp] / 2

xm = p + xp

b) ym = [ yp + 0 ] / 2

ym = yp / 2

Cálculo da equação do lugar geométrico dos pontos médios (xm, ym)

a) cálculo de xp

y2 = 4px Þ xp = yp2 / 4p

b) cálculo da equação:

ym = yp / 2 Þ yp = 2.ym

xm = p + (yp2 / 4p)

xm = p + (4.ym2 / 4p)

xm = p + ym2 / p

A equação do lugar geométrico dos pontos médios (xm, ym) é:

x = (y2 / p) + p

Esta equação representa uma parábola com eixo focal OX, com foco (5p/4, 0) e vértice (p, 0).