Re: [obm-l] analitica

-----Mensagem original-----
De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 23 de Janeiro de 2002 23:47
Assunto: Re: [obm-l] analitica

Desculpe pelo erro... aí vai o enunciado correto

ime-2002

Considere uma parábola de eixo foca OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto p e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola.

----- Original Message -----

From: Eduardo Wagner

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, January 25, 2002 10:17 PM

Subject: Re: [obm-l] analitica

Voce tem que explicar melhor qual eh o problema.
"Pontos das subnormais (?)".
Wagner.

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From: iver@infonet.com.br (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves)
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] analitica
Date: Wed, Jan 23, 2002, 18:06

Será q dava pra alguém mostrar o resultado da questão abaixo?

ime-2002

Considere uma parábola de eixo foca OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto p e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos das subnormais dessa parábola.

desde jah agradeço,

hugo

solução:seja 2p o parametro da parabola de equação y^2=4px , seja P um ponto da parabola e M um ponto medio da subnormal então:

Cálculo do coeficiente angular a’ da subnormal:

a) derivada da equação da parábola em função de y:

x’ = 2y / 4p

x’ = y / 2p

b) valor da derivada no ponto P:

x’(y_p) = y_p / 2p

c) coeficiente angular a’(perpendicular à tangente em P):

a’ = - 2p / y_p

Cálculo da equação da reta suporte da subnormal:

x – x_p = a’(y - y_p)

x – x_p = -2p/y_p . (y – y_p)

x.y_p – x_p.y_p = -2p.y + 2p.y_p

Cálculo do ponto do eixo x pertencente à subnormal:

a) fazendo y = 0:

x.y_p – x_p.y_p = 2p.y_p

b) isolando x:

x = (2p.y_p + x_p.y_p) / y_p

Cálculo do ponto M:

a) x_m = [x_p + (2p.y_p + x_p.y_p) / y_p] / 2

x_m = p + x_p

b) y_m = [ y_p + 0 ] / 2

y_m = y_p / 2

Cálculo da equação do lugar geométrico dos pontos médios (x_m, y_m)

a) cálculo de x_p

y² = 4px Þ x_p = y_p² / 4p

b) cálculo da equação:

y_m = y_p / 2 Þ y_p = 2.y_m

x_m = p + (y_p² / 4p)

x_m = p + (4.y_m² / 4p)

x_m = p + y_m² / p

A equação do lugar geométrico dos pontos médios (x_m, y_m) é:

x = (y² / p) + p

Esta equação representa uma parábola com eixo focal OX, com foco (5p/4, 0) e vértice (p, 0).