[obm-l] Re: [obm-l] Re: Orientação para resolução

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

2^4 == 16 (mod 100)
2^12 == 96 == -4 (mod 100)
2^60 == (-4)^5 == 24 (mod 100)
2^72 == (-4)^6 == 96 == -4 (mod 100)
2^432 == (-4)^6 == 96 == -4 (mod 100)
2^864 == (-4)^2 == 16 (mod 100)

2^936 == 2^864 * 2^72 == 16 * (-4) == 64 == -36 (mod 100)
2^996 == 2^936 * 2^60 == (-36) * 24 == -64 == 36 (mod 100)

2^1000 == 2^996 * 2^4 == 36 * 16 == 76 (mod 100)

-----Mensagem Original-----
De: <ghaeser@zipmail.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 21 de Janeiro de 2002 12:55 Terezan
Assunto: [obm-l] Re: Orientação para resolução


>Quais são os últimos dois algarismos de 2^1000 ??


Não sei resolver esse tipo de questão, mas como encontrei a resposta certa
resolvi mandar a mensagem !!

Será que alguém poderia postar uma maneira mais fácil de obter essa resposta
??


obs : as igualdades são todas mod 100

2^10 = 24
(2^10)^100 = 24^100 = (2^3*3)^100 =

(2^10)^30*3^100 = 24^30*3^100 = (2^3*3)^30*3^100 =

(2^10)^9*3^130 = 24^9*3^130 = (2^3*3)^9*3^130 =

2^27*3^139 = 2^30/8*3^139 = 24^3/8*3^139 = 12^3*3^139 =

4^3*3^142 = 64*3^142

analisando as potencias de 3 mod 100:

3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=43
3^6=29
3^7=87
3^8=61
3^9=83
3^10=49



3^142*64=49^14*64*9


analisando as potencias de 49 mod 100:

49^1=49
49^2=01
49^3=49
49^4=01
..
49^14=01 mod 100

assim, temos que : 49^14*64*9 = 64*9 = 76 mod 100

Portanto os últimos dois algarismos de 2^1000 é 76
conferindo :

2^1000 =
1071508607186267320948425049060001810561404811705533607443750388370351051124
9361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698
5748039345677748242309854210746050623711418779541821530464749835819412673987
67559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376



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