Re: Dúvida

[Fábio Dias Moreira <fabiodias@xxxxxxxxxx>]

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On Saturday 22 December 2001 17:51, you wrote:

> > Olá colegas da lista,
>
> Vi no cursinho a seguinte questão:
>
> Sejam x, y e z números reais positivos.
> a)       Mostre que (x+1/x)*(y+1/y)*(z+1/z) >= 8

Lema: O valor mínimo de x + 1/x é 2.
Prova: Vamos provar que x+1/x >= 2. Como x é positivo, podemos multiplicar os 
dois lados da desigualdade por x. x^2 + 1 >= 2x <==> x^2 - 2x + 1 >= 0 <==> 
(x-1)^2 >= 0, evidentemente verdade. Como, para x = 1, x + 1/x = 2, o mínimo 
é de fato 2.

Os fatores do produto são independentes entre si, já que cada um depende de 
uma incógnita diferente. Pelo lema, todos os fatores são >= 2. Logo, o 
produto é >= 2 * 2 * 2 == 8, c.q.d.

> b)       Mostre que, se x*y*z=100, então (x+1)*(y+1)*(z+1) >= 80
>
> O item b) não é meio estranho? Se x, y e z são reais positivos e xyz já
> é
> 100, parece meio óbvio a demonstração, já que, ao desenvolver aquele
> produto, haverá uma soma de xyz (=100) e outros termos todos
> positivos...
> Em que eu estou errando ao fazer este raciocínio?

Está certo, até pq se não houvesse a restrição a números positivos, x sendo 
um número negativo muito grande, y = 1/x e z = 100 permitiria obter valores 
negativos arbitrariamente grandes, já que (~= quer dizer aproximadamente 
igual) x+1 ~= x, y+1 ~= 1 e z+1 = 101, (x+1)(y+1)(z+1) ~= x*1*101 = 101*x, 
que é negativo.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira (fabiodias@ieg.com.br, ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A)
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