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Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel




Uma dúvida que eu tenho sobre o Teorema de Godel (o segundo): Godel prova 
que um sistema consistente não pode provar sua própria consistência. Mas, 
mesmo que provasse, o que adiantaria? Quero dizer, por que o fato de eu 
provar que o sistema é consistente, implicaria que ele é consistente? (isso 
não é verdade, pois num sistema inconsistente eu provo tudo, inclusive sua 
consistência). Isso tem a ver com o teorema da completude (aquele que diz 
que consequencia semântica é o mesmo que sintática, na lógica de 
primeira-ordem)? Além disso, não poderia provar a consistência de um sistema 
na meta-linguagem (assim como o próprio Teorema de Godel foi provado na 
meta-linguagem)?

>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>Date: Mon, 17 Dec 2001 16:41:06
>
>Ola Andre, Bruno e
>demais colegas desta lista,
>
>Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ...
>
>No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava
>suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se
>tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal
>formulada ...
>
>Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA 
>FORMAL
>construido seja CONSISTENTE e COMPLETO :
>
>1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam
>demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE
>)
>2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao 
>(
>CONSISTENCIA )
>
>Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou
>opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas
>qualidades ou ele e inaceitavel.
>
>Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori
>antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal !
>
>Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal 
>que
>possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica.
>
>Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar
>a definicao classica ( dada por Cauchy ) :
>
>Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que
>N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon.
>
>O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise (
>Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. 
>E
>assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos.
>
>Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou "logicizar" a Aritmetica. Na
>cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a
>Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a
>Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um
>desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido.
>"Os Principia" da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel
>trabalhou ...
>
>Godel tinha "bagagem" para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho...
>
>Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao
>"Circulo de Viena" ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre 
>a
>Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf
>Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia "Os Pensadores - Circulo de Viena 
>"
>) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do
>trabalho dele foi mais ou menos assim : "Sobre os Sistema formais do
>Principia Matematica e Sistemas Correlatos"
>
>Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD.
>
>O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros
>pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do
>Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, "O teorema de Godel", e muito
>bom neste sentido.
>
>Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais
>ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o
>teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em "O teorema de
>Godel e a Hipotese do Continuo", de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao 
>me
>ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ).
>Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais
>resultados estao no proprio livro.
>
>Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que
>ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos  da
>epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na
>mais ampla expressao deste termo.
>
>Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e
>revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode
>rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ...
>
>Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos
>outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de
>suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia.
>Eles sao Matematicos-Filosofos e os seus trabalhos mais importantes "Tocam
>Fundo" em nossos valores e pressuposicoes ja arraigadas.
>
>O Teorema de Godel nao "TOCOU BAGUNCA NA MATEMATICA"... Pelo Contrario,
>quando a maioria queria reduzir esta ciencia a um jogo logico de simbolos
>sem sentido ( projeto formalista ), ele mostrou que entre o ceu do ideal
>formalista e a terra da realidade matematica, havia muito mais aspectos a
>serem considerados do que pressupunha a vao filosofia deles.
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>2,1439,171201
>
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>
>
>
>
>
>
>
>>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>>Date: Sat, 15 Dec 2001 00:15:02 -0200
>>
>>At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote:
>>>vc disse sobre as propriedades do sistema formal e
>>>sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
>>>antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
>>>Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
>>>uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
>>>demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
>>>memorizou o resultado??Vc está entendendo o que quero
>>>dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
>>>,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.
>>
>>Metendo-me na conversa:
>>
>>Acho que o teorema de Gödel não é difícil de se entender (talvez entender
>>bem o papel da "aritmética de Peano" no enunciado seja o mais confuso), 
>>mas
>>a demonstração é bem complicada.
>>
>>Bruno Leite
>>
>>
>>>--- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
>>>Ola Rogerio e demais
>>> > colegas desta lista,
>>> >
>>> > E importante que se compreenda corretamente o que e
>>> > um SISTEMA FORMAL e o
>>> > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
>>> > sistema. Estes sistemas tem,
>>> > a grosso modo :
>>> >
>>> > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
>>> > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
>>> > postulados )
>>> >
>>> > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA
>>> > PROPRIEDADE DITADA POR
>>> > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
>>> > TENHAMOS DELES. Tudo que
>>> > se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia
>>> > logica dos axiomas e dos
>>> > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
>>> > construir novos objetos em
>>> > estrita obediencia as regras de construcao.
>>> >
>>> > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
>>> > possivel provar uma afirmacao e
>>> > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar
>>> > que "A e B" eu nao
>>> > poderei provar que "A e nao B"
>>> >
>>> > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
>>> > afirmacoes sobre os objetos puder
>>> > ser provada com os recursos de inferencia do proprio
>>> > sistema, isto e, nao
>>> > pode haver uma propriedade usufruida por alguns
>>> > objetos do sistema que seja
>>> > indemonstravel com os recursos de inferencia do
>>> > sistema.
>>> >
>>> > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
>>> > dos objetivos perseguidos
>>> > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
>>> > ele ja esta
>>> > suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
>>> >
>>> > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
>>> > conceitos acima, de
>>> > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
>>> > qualquer sistema formal
>>> > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
>>> >
>>> > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
>>> > afirmacao sobre os objetos
>>> > do sistema puderem ser demonstradas com os recursos
>>> > de inferencia do
>>> > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
>>> > nos seremos capazes de
>>> > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
>>> > lado, o sistema formal
>>> > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de
>>> > provarmos um teorema e
>>> > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
>>> > dizer, haverao propriedades
>>> > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
>>> > capazes de provar com os
>>> > recursos de inferencia do proprio sistema."
>>> >
>>> > Nao existe Teorema da Completude na Geometria
>>> > Euclidiana. Nao no sentido de
>>> > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que
>>> > a geometria euclidiana
>>> > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a
>>> > consistencia da Algebra
>>> > depende da Aritmetica e a prova da consistencia
>>> > desta ultima parece muito
>>> > dificil de ser conseguida ...
>>> >
>>> > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema
>>> > de Godel e algo ruim e
>>> > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
>>> > todos os Matematicos
>>> > formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam
>>> > o sentido intuitivo que
>>> > damos aos objetos matematicos, reduzindo a
>>> > Matematica a um jogo logico sem
>>> > graca, sem semantica e sem sentido.
>>> >
>>> > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
>>> > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao
>>> > de um de seus objetos : sao portanto propriedades do
>>> > TODO. Visto por este
>>> > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades (
>>> > consistencia, completude
>>> > )  que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
>>> > consideracao das partes
>>> > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
>>> > MERA SOMA DAS PARTES. O
>>> > cara formalista pressupoe justamente o contrario.
>>> > Ele pensa que conhecendo
>>> > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
>>> > indefinidos ) vai poder explicar
>>> > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
>>> > frente dele. E o SONHO
>>> > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE
>>> > EXPLICAM TODO O
>>> > UNIVERSO.
>>> >
>>> > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA
>>> > SEMANTICA, NO FIM, NA
>>> > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como
>>> > algo mais que mera
>>> > filosofia barata. Se se retirar o sentido das
>>> > coisas, as coisa perdem o
>>> > sentido. Agora, como articular de forma consistente
>>> > e seria este sentido ?
>>> >
>>> > Todos os danos que estamos causando ao mundo
>>> > natural, que vem ha anos
>>> > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
>>> > de nossa ignorancia com
>>> > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal
>>> > seria que nos nos
>>> > relacionassemos com a natureza respeitando os seus
>>> > acontecimentos ou o papel
>>> > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
>>> > linguagem, como sempre, e
>>> > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de
>>> > Godel o primeiro passo
>>> > neste sentido.
>>> >
>>> > Um abraco
>>> > Paulo Santa Rita
>>> > 6,1500,141201
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > >From: "Rogerio Fajardo"
>>> > <rogeriofajardo@hotmail.com>
>>> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>>> > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
>>> > >
>>> > >Olá,
>>> > >
>>> > >  O que diz o teorema da completude da geometria
>>> > euclideana? Alguns livros
>>> > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
>>> > parece que diz que todos os
>>> > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre
>>> > si. Mas isso não
>>> > >implica
>>> > >que não existe sentenças independentes na geom.
>>> > euclideana? E isso não
>>> > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria
>>> > eu posso expressar a
>>> > >aritmética)?
>>> > >
>>> > >Rogério
>>> > >
>>> > >
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