[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: Pergunta intrigante



Sauda,c~oes,
 
Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato ganhar os
pontos rapidamente.
 
A demonstração que segue já apareceu numa RPM.
 
Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x >= 1 + x, (*) para
todo x em R. E e^x = 1 + x <==> x=0.
 
Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*) e some os n resultados.
Você chegará a  1 >= G^n / A^n ou A >= G.
 
[]'s
Luis
 
-----Mensagem Original-----
Para: OBM
Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2001 17:05
Assunto: Pergunta intrigante

    Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 >= 3r(xyz), x>0, y>0, z>0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e >= o sinal de "maior ou igual a"
 
    Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube responder:
 
    "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?"
 
    Minha opiniao PARTICULAR é q nao...
 
    É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo...
 
    Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer?
 
    Eu resolveria a questao da seguinte maneira:
 
Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.
 
1) Primeiro provemos que (x+y)/2 >= 2r(xy)  -->  (x+y) >= 2* 2r(xy) -->  (x+y)^2 >= 4xy -->
 
(x-y)^2 >= 0, que é sempre verdadeiro.
 
Assim, analogamente (z+w)/2 >= 2r(zw)     e   (c+d)/2 >= 2r(cd)
 
Seja (x+y+z+w)/4 = a.
 
a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2  >=  [2r(xy) + 2r(zw)]/2
 
Se c = 2r(xy) e  d = 2r(zw), vem:
 
a >= (c+d)/2 >= 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw)
 
Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:
 
a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w
 
Como a >= 4r(xyzw), entao:
 
w >= 4r(xyzw)   -->   w^4 >= xyzw  -->  w^3 >= xyz
 
Ou:
 
(x+y+z)/3 >= 3r(xyz),   c.q.d.