Re: Demonstracao do volume/�rea da esfera

["Daniel" <danielcosta@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

            O volume da esfera pode ser obtido atrav�s do uso de C�lculo
Integral, bastando por�m aplicar um princ�pio simples, vamos l�:

        Imagine o plano cartesiano e nele uma fun��o y = r.
        Se fizermos uma rota��o do gr�fico entorno do eixo "x" obtemos um
cinlindro, e seu volume �:
       V =  pi * r^2 * h, onde h � uma altura que podemos fixar no eixo "x".
        escrevendo de outra forma temos:
        V = pi* y^2 *h
        O princ�pio que quero mostrar � que volume � obtido pela rota��o e
devemos integrar o quadrado da fun��o.
        Para a esfera temos:
        y = sqrt (r^2 - x^2) eq da circf na origem.
        V = pi * INT(-r; +r) y^2 dx
        INT (-r ; +r ) = integral de -r a +r
        V = pi* INT (-r; +r) r^2 - x^2 dx
        V = pi * [ r^2 * x - x^3/3] (-r; +r)
 V= pi* [ r^2 * (r) - (r)^3/3] - [r^2 * (-r) - (-r)^3/3]
        Simplificando a algebra acima, chegamos sem problemas que

        V = pi * 4/3 r^3    (c.q.d)

        A �rea � obtida derivando o volume:

        A = dv/dr = pi * 4r^2 (c.q.d.)

   Espero que ajude

                                Daniel O. Costa