Re: Funções... (Iezzi)

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

Normalmente se convenciona que uma somatória vazia tem valor zero, assim 
como um produto vazio tem valor 1. para n=0 a sua soma é vazia, e, com essa 
convenção, a sua fórmula vale sempre.

Aliás, não acho que uma fórmula fechada não possa ter algo do tipo

f(n)=... se n=...
e
f(n)=.... caso contrário

Bruno Leite

PS A sua fórmula ainda pode ser mais simplificada!!

At 16:11 25/11/01 -0200, you wrote:
>                 Olá..
>
>         Estou aqui resolvendo um problema de funções do Iezzi, mas como 
> para esse tipo de exercício 'dissertativo' não há resposta nas últimas 
> páginas, não sei se cheguei a solução correta.
>
>"Seja f uma função, definida no conjunto dos números naturais, tal que:
>                         f(n + 1) = 2f(n) + 3
>para todo n natural.
>a) Supondo f(0) = 0, calcule f(1),f(2),f(3),f(4),... e descubra a "fórmula 
>geral" de f(n).
>b) Prove por indução finita a fórmula descoberta."
>(in IEZZI, Gelson FME vol 1. pp 157)
>
>Fazendo f(1), f(2), f(3) etc.. achamos:
>f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21,f(4) = 45, f(5) = 93 ... f(n) = ?
>"expandindo" as contas, temos:
>f(1) = (0.2) + 3
>f(2) = (((0.2) + 3).2) + 3
>f(3) = ((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3
>f(4) = (((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3
>f(5) = ((((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3).2 + 3
>
>Tomando n = 3 e desenvolvendo:
>f(3) = 3.2.2 + 3.2 + 3
>o mesmo para n = 4:
>f(4) = 3.2.2.2 + 3.2.2 + 3.2 + 3
>ou 3.2³ + 3.2² + 3.2 + 3
>Isso decorre de que n+1 é dado por n.2 + 3..
>Colocando o 3 em evidência.. e notando que a maior potência de 2 é igual a 
>n-1:
>f(n) = 3(2^(n-1) + 2^(n-2) + ....  + 2^1 + 2^0)
>ou ainda f(n) = 3. somatória[para k = 0 até n - 1] 2^k
>A fórmula funciona para qualquer n pertencente aos naturais e diferente de 
>zero.
>Daí que vem minha dúvida... a fórmula que eu achei pode ser considerada 
>'termo' geral, se não é válida para 0?
>         Alguém tem alguma idéia de outra fórmula geral?
>
>
>
>Grato pela atenção..
>
>
>
>
>"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain",
>     Friedrich von Schiller's
>-
>[]'s
>{O-Grande-Mentecapto}
>mentus@berlin.com
>
>