GA / Baricentro de um Tri�ngulo

[Fernando Henrique Ferraz <mentus@xxxxxxxxxx>]

         Ol�...

         Estava quebrando a cabe�a num problema do ITA 
(http://www.exatas.f2s.com/matematica/ga005.html) quando achei a solu��o 
usando a 'f�rmula' do baricentro: G((xa + xb + xc)/ 3, (ya + yb + yc)/3) do 
tri�ngulo.
         Depois disso ficou bem f�cil o exerc�cio. mas fiquei me 
perguntando aqui, de onde que essa f�rmula vem. Procurei em v�rios livros 
mas ela � sempre 'empurrada' e nunca demonstrada ou provada.
         Comecei a esbo�ar uma demonstra��o mas os c�lculos ficaram muito 
monstruosos. Parti dum tri�ngulo ABC, sendo A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3). 
M sendo o ponto m�dio de AC, N ponto m�dio de AB e P o ponto m�dio de BC. A 
partir disso achei a equa��o geral de duas medianas (primeiro calculando o 
coefiente angular, a partir de /\y//\x, e dai jogando na formula da equacao 
geral da reta), ambas gigantescas... ie.:
EQG de BM: y(x1 + x3 - 2x2) - y2(x1 + x3 - 2x2) = x(y1 + y2 - 2y3) - x2(y1 
+ y3 - 2y2)
EQG de CN: y(x1 + x2 - 2x3) - y3(x1 + x2 - 2x3) = x(y1 + y2 - 2y3) - x3(y1 
+ y2 - 2y3)
         A partir disso tentei trabalhar com esses dois 'monstros' , 
isolando x numa e inserindo na outra, mas n�o fiz muitos progressos.. N�o 
h� alguma outra maneira de demonstrar que o Baricentro de um tri�ngulo 
sempre corresponde a m�dia simples de x e y?

grato pela aten��o..





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