RES: Problema Interessante ...

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Esse e bom ...
Prove que (5555 elevado a 2222) + ( 2222 elevado a 5555) e divisivel por 7.

Solucao:

Seja ^ = "elevado a"

Eh um problema de congruencia.  Escreverei a==b para significar que a e b
deixam o mesmo resto na divisao por 7 (nesse caso diz-se que a e b sao
congruentes modulo 7).  Algumas das propriedades das congruencias sao:

(i) se a==b entao a^n == b^n
(ii) se a==b e c==d entao a+c==b+d

Baseando-nos nestas propriedades temos:

5555^2222 == 4^2222 ==
(pois 5555 == 4, prop(i))
== 4^(3.740+2) ==
== 4^(3.740).4^2 ==
== (4^3)^740.4^2 ==
== 64^740.16 == 1^740.16 ==
(pois 64 == 1, prop(i))
== 16 == 2
logo 5555^2222 == 2

note que a chave aqui foi descobrir a que numero n devemos evevar 4 de modo
que 4^n == 1.  No caso 4^3 = 64 == 1.

por outro lado

2222^5555 == 3^5555 ==
(pois 2222 == 3, prop(i))
== 3^(6.925+5) ==
== 3^(6.925).3^5 ==
== (3^6)^925.3^5 ==
== 729^925.3^5 ==
== 1^925.3^5 ==
(pois 729 == 1, prop(i))
== 3^5 == 243 == 5

Como 5555^2222 == 2
     2222^5555 == 5

podemos somar (prop(ii))

5555^2222 + 2222^5555 == 2 + 5 == 7 == 0

logo 5555^2222 + 2222^5555 eh divisivel por 7.

[]'s

Eric.