Re: Minimo

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

Gostaria que vcs verificassem se minha resposta está CORRETA, uma vez q nao
me propus a utilizar derivadas...

Seja f(x) = x^x , para x real positivo...

Se k é também um real positivo, entao f(x+k) = (x+k)^(x+k)

Ora, para que f(x+k) > f(x), entao: (x+k)^(x+k) > x^x

Entao: [(x+k)/x]^x > 1/[(x+k)^k]

Mas como sabemos que [(x+k)/x]^x = [1 + (k/x)]^x < e^k para todo k e x real,
entao:

1/[(x+k)^k]  < e^k     , ou      x+k > 1/e  -->  x > 1/e - k

Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE:

x > 1/e   ou   x = 1/e.       Ou, seja, para todo x >= 1/e  a funcao f(x) é
crescente.

Por outro lado, para que f(x-k) > f(x), entao (x-k)^(x-k) > x^x

Logo, [(x-k)/x]^x > (x-k)^k   . Como [(x-k)/x]^x = [1 - (k/x)]^x, que é
menor que [(1/e)^k] para todo k e x reais positivos, entao:

(x-k)^k  <  [(1/e)^k]    -->    x-k < 1/e    -->  x < 1/e + k

Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE:

x < 1/e  ou  x = 1/e .  Ou, seja, para todo x >= 1/e  a funcao f(x) é
decrescente.

Mas se f(x) é decrescente até x = 1/e e é crescente a partir deste valor,
entao o valor MÍNIMO de f(x) é obrigatoriamente f(1/e) = (1/e)^(1/e).

Correto?







----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sexta-feira, 19 de Outubro de 2001 06:57 Terezan
Subject: Re: Minimo


On Thu, Oct 18, 2001 at 09:50:40PM -0200, Anselmo Alves de Sousa wrote:
> Olah! Mais uma vez venho aqui com uma duhvida. E quem diria? O professor
...
> Legal. Aplicando a primeira derivada resolvemos rapidamente. O problema é
> que a resposta foi dada na forma de raiz de indice "e" de "1/e".
>
> Gostaria de saber se existe significado para raizes de indice irracionais.
> Outro exemplo: raiz de indice "pi".

A explicação mais simples e elementar que eu conheço é a seguinte.

LEMA:
Dado um número real a > 1 existe uma única função crescente f: R -> R
satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y).
Dado um número real 0 < a < 1 existe uma única função crescente f: R -> R
satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y).

Aceitando este lema definimos a^x = f(x).
A raiz de índice x de a é f(1/x).
Por alguma razão esta apresentação parece ser incomum.
Parece que a maioria dos autores acha que é necessário
falar de limites para definir a^x.
Na pior das hipóteses é necessário usar conceitos de sofisticação
comparável ao de limite para *provar* o lema, mas não para definir.

[]s, N.