Problema 53 Eureka!

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Problema 53. Prove que num circulo convexo dado e para o mesmo numero de
lados, o poligono regular inscrito é aquele cuja superficie é maxima.

Eu entendi a soluccao do Carlos Alberto da Silva Victor. Mas eu pensei em
uma bem mais simples.

Seja O o centro do circulo. Suponha que um poligono de n lados B1B2...Bn
nao-regular seja aquele que possui area maxima. Considere que o lado BiBi+1
possui tamanho diferente do lado Bi+1Bi+2, entao o ponto Bi+1 nao esta no
meio do arco Bi...Bi+2. Seja M o ponto que esta na metade desse arco, eh
facil de mostrar que o quadrilatero OBiMBi+2 possui area maior que o
quadrilatero OBiBi+1Bi+2, logo o poligono B1B2...BiMBi+2...Bn possui area
maior que o poligono B1B2...Bn, um absurdo pois esse, por hipotese, possuia
a maior area possivel. Logo todos os lados sao iguais e o poligono eh
regular.

Eduardo Casagrande Stabel.