Re: integral e prof saldannha

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Sep 08, 2001 at 06:43:03PM -0300, pirotron wrote:
> prof.saldanha,meus agradecimentos pelo bom 
> trabalho,gostaria de so uma informacao qual o valor da 
> integral de 1/logx e a soma da serie harmonica,ao menos 
> aproximada.como foi achada aquela aproximacao 1/logx-1 e 
> se essa e a melhor ou tem outras.meu computador pirou 
> desculpa as faltas.

A integral de 1/logx eu tenho quase certeza que não é elementar
(i.e., não pode ser escrita com as funções que a gente aprende na escola).

A série harmônica vale aproximadamente

1 + 1/2 + ... + 1/n ~= log n + gamma + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - ...

onde gamma é a constante de Euler 

gamma ~= 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 ...

Todo mundo acredita que gamma seja irracional mas parece-me
que isto continua em aberto.

Os coeficientes 0,1/2,-1/12,0,1/120,0,.. de n^(-k)
tem a ver com os números de Bernoulli

Bn = 1,-1/2,1/6,0,-1/30,0,1/42,0,-1/30,0,5/66,0,-691/2730,...

que admitem um monte de definições e propriedades importantes:

sum_{j=0}^m binom(m+1,j) Bj = ( m == 0 ? 1 : 0 )

z/(e^z - 1) = sum_{n >= 0} Bn z^n/n!