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O pulo do gato do Cardano (na realidade, de del
Ferro e Tartaglia) eh a mudanca de variavel
x = y - p / 3y na equacao x^3 +px+q=0.
No nosso caso, x = y + 4 / 3y, que transforma a
nossa equacao em
y^6 - y^3 + 64/27=0.
Esta eh uma equacao do segundo grau t^2 - t
+64/27=0 em t = y^3.
Esta equacao tem as raizes complexas conjugadas 0,5
+ - i RQ(229/27) = 0,5 + - i 1,456149.
Uma raiz cubica de 0,5 + i 1,456149 eh, por
exemplo, 1,057454 - i 0,463816
(isto pode ser achado pela forma trigonometrica,
com uma calculadora:
ache a raiz cubica do modulo e divida um argumento
por 3), que vou chamar de a+bi.
Eh um exercicio relativamente facil provar que as 3
raizes da equacao dada sao:
2a, -a + b RQ(3) e
-a - b RQ(3).
(Essencialmente, a ideia eh mostrar que 4/3u
eh o conjugado de u,
onde u eh uma raiz cubica de uma raiz da equacao do
segundo grau)
O que torna a "formula de Cardano" "horrorosa"
(como voce disse), eh que a partir da quinta linha do meu e-mail,
virou moda algum dia escrever t=raiz cubica de y e
aplicar a formula classica da equacao do segundo grau,
resultando num emaranhado de radicais que, alem de
horroroso, eh inutil, se a pessoa nao sabe escolher as
determinacoes corretas desses
radicais.
Eh por isto que no meu livro Resolucao de Equacoes
Algebricas estah escrito: "desaconselhamos o uso da chamada
formula de Cardano", mas nao o uso do metodo de
Cardano, que eh muito instrutivo e, hoje em dia, com calculadora e computador,
nao pode meter medo em ninguem.
As aproximacoes que voce achou provavelmente
resultaram da aplicacao de algum metodo numerico ou, diretamente, um Maple, ou
coisa assim. Isto eh perfeitamente valido, mas se voce quiser saber o que estah
se passando por tras dos calculos (creio que isto interessa a nos, matematicos),
vai passar tambem por algumas coisas que outros vao considerar "horrorosas".
Tanto que os metodos numericos ainda sao tabu no
ensino medio (veja um artigo meu numa RPM: Equacoes de grau superioro a 2:
assunto para ensino medio?)
JP
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