Re: Geometria

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Nao tive tempo de ler o seu e-mail, mas ja agradecco pelos comentarios.
Eu me expressei mal no segundo problema. Vai anexado uma figura, espero que
todos possam ve-la. O triangulo ABC eh equilatero, e os lados AP, BQ e CR
tem o mesmo comprimento. Tem-se que provar que PQR eh equilatero.

Obrigado, Alexandre.

Eduardo Casagrande Stabel.

----- Original Message -----
From: Alexandre Tessarollo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, August 31, 2001 12:22 PM
Subject: Re: Geometria



Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Ola pessoal!
Eu tenho duas perguntas sobre geometria.
1. Sejam A e B dois pontos distintos do plano, qual o nome, propriedade ou
quaisquer coisa relacionada a figura formada por todos os pontos P de tal
forma que o angulo A^PB seja constante?


    Ao conjunto L dos pontos do plano que têm uma determinada propriedade P,
tal que todo elemento de L possui a propriedade P e apenas os elementos de L
possuem a propriedade P dá-se o nome de lugar geométrico ou, em inglês e
latim, locus. Um exemplo é a circunferência. Todos os pontos da
circunferência possuem a propriedade de distar R do centro O, e apenas os
pontos da circunferência possuem esta propriedade.
    O lugar geométrico que vc procura chama-se Arco Capaz. Dado um ângulo
XYZ e um segmento AB, constrói-se assim:
1) transporte o ângulo XYZ para o segemento AB, ou seja, AB será um dos
lados do ângulo e A será o vértice. Se vc sabe como fazer isto, pule para o
passo 2.
    a) Com um distância qualquer no compasso, faça um arco centrado em Y e
que corte YX e YZ.
    b) Com esta MESMA distância, centre em A e faça a circunferência.
(Poderia ser só um arco que cortasse AB e fosse um "pouquinho" maior que o
arco original, mas daqui a pouco vc vai entender o porquê da circunferência
completa).
    c) Seja T e U as intersecções do arco (construído no item a) com YX  e
YZ, respectivamente.
    d) Marque a distância TU no compasso.
    e) Seja C a intersecção da circunferência (construída no item b) com o
segmento AB.
    f) Centrando em C, marque a distância (TU) na circunferência (construída
no item b). Surgirão os pontos D ("acima" de AB) e E ("abaixo" de AB).
    g) Agora, temos BAD = BAE = XYZ
2) Tomemos o ângulo BAD = XYZ (D "acima" de AB). Construa a perpendicular a
AD que passa por A.
3) Construa a mediatriz de AB.
4) Seja O a intersecção da mediatriz de AB com a perpendicular (construída
no item 2).
5) Centrando em O e com o compasso "indo" até A, faça o arco "até" B. Note
que vc pode tanto fazer um arco grande como um arco pequeno. Faça o arco
"para baixo". (Se o seu ângulo for agudo, será o arco maior. Se for obtuso,
será o arco menor.)
6) Repita os passos 2 a 5, sendo que no passo 2 você deverá pegar o ângulo
BAE ao invés de BAD (E "abaixo" de AB) e no passo 5, você deverá construir o
arco "para cima".

    A junção destes dois arcos dá o Arco Capaz que enxerga AB sob um ângulo
XYZ. A figura no final parece um oito deformado se XYZ for agudo, uma
quase-elipse achatada se o ângulo for obtuso e é exatamente uma
circunferência se o ângulo for reto.

    Prova:
    Observe que o ângulo OAB é comlementar de BAD = XYZ por construção. Seja
M o ponto médio de AB. O ângulo AMO é reto pois MO é mediatriz de AB, por
construção. Assim, como num triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, no
triângulo AMO, o ângulo AOM deverá ser igual a BAD = XYZ.
    Como AM=MB, MO=MO e os ângulos AMO=BMO, temos, por lado-ângulo-lado, que
os triângulos AMO e BMO são congruentes e, em particular, os ângulos
BOM=AOM=XYZ. Ou seja, o ângulo AOB é 2*XYZ.
    Mas AOB é o ângulo central do arco (construído em 5). Logo, qualquer
ponto neste arco enxergará AB sob um angulo de AOB/2 = (2*XYZ)/2 = XYZ.
    Repete-se a prova para o "outro" arco (construído em 6) e está provado,
CQD.

    Quaisquer dúvidas ou comentários, estamos aí.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: No passo 5, na hora de construir o arco "para cima" ou "para baixo",
basta lembrar que o arco tem de estar no lado "oposto" ao lado em que o
ângulo foi construído, com relação à AB. Ou seja, se você construir BAD
"acima" de AB, o arco deverá ser "abaixo", e vice-versa.

2. Temos um triangulo equilatero ABC, dentro do triangulo se tracam tres
segmentos, cada um partindo de um lado, que nao se cruzam mas estao um
apoiados nos outros. Mostrar que se os tres segmentos tem o mesmo
comprimento, o triangulo do meio e' tambem equilatero.
Eu ia anexar uma figurinha pro 2, mas tem gente que nao consegue abrir.
                  A
                 /\
                /  \
               /    \
              /       \
             /         \
           /             \
         /                 \
        /                    x Q
       /                       \
 R  x                           \
    /                               \
   /                                   \
  /                                       \
/__________x___________\
B                  P                      C

    Hum, talvez mais atrapalhe do que ajude, mas vamos ver se eu entendi:
Sejam X, Y e Z as intersecções de AP e BQ, BQ e CR, CR e AP,
respectivamente. Então, se ABC é equilátero e AX=BY=CZ, então o triângulo
XYZ também é equilátero.
    Bem, se for isto, acho que até já vi essa questão antes. Só que não sei
se vi a solução e, se vi, não lembro. Vou pensar um pouco mais... :-)
Eduardo Casagrande Stabel.

Mais uma vez,
[]'s
Alexandre Tessarollo

fig6.bmp