Re: Estatística e resta -um

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

A questao do resta-um nao é difícil, se vc já viu a resposta antes... :-)

A verdade é que a "dificuldade" desta questao (assim como de muitas outras)
reside na elaboracao de como atacá-la...

Bom, desenharei, na medida do possível, o tabuleiro de resta-um, com as
casas inicialmente OCUPADAS pelas cores A,B,C apropriadamente.

        C A B
        B C A
B C A B C A B
A B C     B C A
C A B C A B C
        A B C
        C A B

Repare que, o primeiro movimento significa inevitavelmente "apagarmos" 1 cor
B e 1 cor C e "pintarmos" uma cor A no centro.

Analogamente, todos os movimentos se resumem em 3:
    - "apagar" 1B e 1C, "pintar" 1A
    - "apagar" 1A e 1C, "pintar" 1B
    - "apagar" 1A e 1B, "pintar" 1C

Assim, em todos os casos, adicionamos ou reduzimos 1 unidade do total de
unidades de determinada cor.
Seja x{n} o número de casas pintadas da cor X após a jogada n.

Logo, a{0} = 10, b{0} = 11 , c{0} = 11.

Consideremos a soma a{n} + b{n}.
Ora, a{n+1} = a{n} +- 1
        b{n+1} = b{n} +- 1

Logo, a{n+1} + b{n+1} = a{n} + b{n} + {-2,0,2}
Assim, conclui-se que (a{n+1} + b{n+1}) possui a mesma paridade de (a{n} +
b{n}), que possui a mesma paridade de (a{0} + b{0}), q é impar (10+11=21).

Analogamente, conclui-se que a{n} + c{n} é ímpar, já que   a{0} + c{0} = 21,
e que b{n} + c{n} é par, visto que b{0} +    c{0} = 22.

Seja k a última rodada do jogo.
- Se a última peça estiver numa casa B, a{k} + c{k} = 0, impossível, pois
a{k} + c{k} é ímpar.
- Se a última peça estiver numa casa C, a{k} + b{k} = 0, impossível, pois
a{k} + b{k} é ímpar.
- Se a última peça estiver numa casa A, a{k} + c{k} = 1,     a{k} + b{k} = 1
e b{k} + c{k} = 0, o que é possível.

Logo, obrigatoriamente a última peça deve estar em uma casa A.

Se pintarmos o tabuleiro da maneira oposta:

       C A B
       A B C
C A B C A B C
A B C     B C A
B C A B C A B
        B C A
        C A B

Concluímos novamente que a última peça só pode repousar em A.

Somando os dois casos, as únicas casas que sao de cor A em ambas as maneiras
de pintar sao 5:

- a casa central
- a casa da 1a fileira, 4a coluna
- a casa da 4a, fileira, 1a coluna
- a casa da 7a fileira, 4a coluna
- a casa da 4a fileira, 7a coluna

Logo, só estas casas podem abrigar o último pino.

----- Original Message -----
From: <thiagobrando@connectmed.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sábado, 18 de Agosto de 2001 13:03 Terezan
Subject: Estatística e resta -um


Caros amigos da lista,
Pode ser que a pergunta seja um pouco off topic , ne verdade, acho que é
completamente off topic, bom, mas já que esou escrevendo o e-mail vamos a
questao.

em fato, nunca entendi muito bem pq o desvio padrao amostral é considerado
mais apurado do que o desvio médio, pelo menos uma razao matematica,
demonstrável, para isso. Será que alguem poderia me ajudar com isso?

Pra nao perder a viagem, aí vai um probleminha (alguém me disse que esta foi
do professor Nicolau)
No jogo resta-um , quando se deixa apenas um pino sobre o tabuleiro, esse
pino só pode ocupar determinadas posiçoes. Determine quantas sao essas
posiçoes.

um abraço a todos,

Thiago Brando