Cone Sul - Questão 2

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Dei uma olhada na prova do Cone Sul deste ano e achei bem interessante o
enunciado da questão 2. Estou mandando uma solução abaixo, espero que outros
integrantes da lista façam comentários sobre esta questão e também sobre as
outras da prova.

Questão 2:
Tem-se uma sucessão a(1), a(2), a(3), ..., a(n), ... de números inteiros
positivos, com as seguintes propriedades:
i) Todo número inteiro positivo aparece uma ou mais vezes na sucessão.
ii)  a(1) = 1
iii) a(3n+1) = 2a(n) + 1
iv) a(n+1) >= a(n)
v) a(2001) = 200
Calcule o valor de a(1000).

Solução:

Para calcular alguns termos da seqüência vou usar seguidamente a relação
iii).
Se a(1) = 1   =>   a(4) = 3.
Desde que todo número inteiro positivo aparece uma ou mais vezes na sucessão
e como  a(1) = 1,  a(4) = 3  e  3 = a(4) >= a(3) >= a(2) >=  a(1) = 1,
temos dois valores possíveis para a(3):  a(3) = 2  ou  a(3) = 3.

i) a(3) = 2:
a(10) = 5   =>   a(31) = 11   =>   a(94) = 23   =>   a(283) = 47   =>
a(850) = 95   =>   a(2551) = 191
que é impossível, pois assim  a(2551) < a(2001), contrariando a relação iv).

ii) a(3) = 3:
a(10) = 7   =>   a(31) = 15   =>   a(94) = 31   =>   a(283) = 63   =>
a(850) = 127   =>   a(2551) = 255
a(4) = 3   =>   a(13) = 7   =>   a(40) = 15   =>   a(121) = 31   =>   a(364)
= 63   =>   a(1093) = 127

Como  a(n + 1) >= a(n)  e  a(850) = a(1093) = 127   =>   a(1000) = 127
que completa a solução.


Gostaria sinceramente que outros integrantes da lista analisassem esta
solução, pois se está certa eu acredito que esta questão é fácil demais para
constar na prova do Cone Sul, que sempre teve um certo nível.

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira