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1) "Como deduzir esta expressao...?"
"Deduzir" significa justificar a partir de certos
pressupostos. Ha varios caminhos, dependendo dos seus pressupostos, e dependendo
da sua definicao de e^z, onde z eh um complexo.
Um caminho eh definir diretamente e^z pela serie
"Soma de 0 a infinito de z^n / n! " (repare que isto eh uma extensao da
serie de Taylor para e^z, quando z eh real).
Naturalmente, isto significa o limite, quando n
tende a infinito, desta soma de 0 a n, e supoe portanto um conceito de
convergencia nos complexos (que alias eh facil: basta raciocinar com a
convergencia em separado das partes real e imaginaria), e supoe que esta serie
em particular convirja, o que eh verdade para qualquer z complexo (mas tem que
ser provado, eh claro).
Se voce agora, fizer z=it, onde t eh real, voce
terah: e^(it) = Soma de 0 a infinito de i^n t^n / n!.
Levando em conta os valores conhecidos das
potencias de i, e separando parte real e imaginaria (atencao! aqui se trata de
uma "soma infinita"; por isto esta passagem nao eh trivial! exige uma
justificativa a parte, relacionada com a "convergencia absoluta" da serie), voce
obterah:
e^(it) = 1+ t^2 / 2! + t^4 / 4! + ... + i (t + t^3
/ 3! + t^5 / 5!+ ...) = cos t + i sen t
2) A questao de se toda funcao periodica pode ser
expressa em termos de seno e cosseno eh uma das mais interessantes da historia
de matematica. [Primeiro um detalhe tecnico; por uma mudanca de variavel
simples, voce pode sempre supor que o periodo eh 2 pi]. Fourier (mais ou menos
em 1860) foi o primeiro a afirmar que qualquer funcao periodica de periodo 2 pi
podia ser aproximada por uma combinacao linear de senos e cossenos de argumentos
t, 2t, ..., nt, ... Esta aproximacao podia se traduzir por uma serie infinita,
que hoje se chama Serie de Fourier (consulte qualquer livro de Calculo
Avancado). So que, aos poucos, se constatou que: i) isto nao valia para
"qualquer funcao periodica"; na epoca, o conceito de funcao ainda nao era claro
como eh hoje, e esta historia serviu para clarear o conceito; ii) mesmo para
funcoes super camaradas, esta igualdade nao se dava em todos os pontos, mas
"em quase todos os pontos"; isto serviu para esclarecer os conceitos de integral
e de medida, e estimulou as ideias de Cantor. A questao so foi inteiramente
resolvida no inicio do seculo XX, com Lebesgue e Hilbert.
JP
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