Re: dízima

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Caramba, que demonstração!! Obrigado.

Quão conhecido é este teorema?

Eu não o conhecia e não soube resolver (pelo menos
de uma maneira "elegante") o seguinte problema:

(Colégio Naval-82) Um número N é formado por dois
algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois
algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de
N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte
não periódica.

A soma dos algarismos de N é:

a) 5 ...

Primeiramente mostramos que N está no
intervalo (29,40), ou seja, N=3x.

Desconhecendo o teorema mencionado,  por tentativas
brutas ou espertas descobrimos que x=6. Então
N=36=2^2 3^2.

Qual teria sido a intenção do problema: conhecimento do
teorema ou tentativa?

[ ]'s
Lu'is


-----Mensagem Original-----
De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 7 de Junho de 2001 03:08
Assunto: Re: dízima


Agora falando sobre a questao:
Se N = (2^A)*(5^(A+B))*C, com C nao divisivel por 2 nem por 5.
1/N = 10^(-A)*[ 1/(C*2^B) ]
Se N = (2^(A+B))*(5^(A))*C, com C nao divisivel por 2 nem por 5.
1/N = 10^(-A)*[ 1/(C*5^B) ]

Basta mostrar que 1/(C*2^B) e 1/(C*5^B) tem suas dizimas comeccadas a partir
da casa B depois da virgula. Reescrevendo: 1/(C*2^B) = 10^(-B)*[(5^B)/C], e
1/(C*5^B) = 10^(-B)*[(2^B)/C]. Basta mostrar agora que 5^B/C e 2^B/C tem
suas dizimas comeccadas logo depois da virgula.

Seja D = (10^PHY(C) - 1)/C (onde PHY eh a funccao de Euler que diz o numero
de naturais menores ou iguais a N, primos a N; vale o seguinte teorema: se A
e N sao primos entre se, A^PHY(N) - 1 eh divisivel por N), reescrevemos as
fraccoes:

5^B/C = 5^B*D / (10^PHY(C) - 1)
2^B/C = 2^B*D / (10^PHY(C) - 1)

Seja Q1 o resto da divisao de 5^B*D por (10^PHY(C) - 1) e Q2 o resto da
divisao de 2^B*D por (10^PHY(C) - 1), reescrevemos as fraccoes como:

5^B/C = I1 + Q1 / (10^PHY(C) - 1)
2^B/C = I2 + Q2 / (10^PHY(C) - 1)

Onde I1 e I2 sao dois inteiros, agora veja que

Q1 / (10^PHY(C) - 1) = Q1 / 10^PHY(C) + Q1 / 100^PHY(C) + Q1 / 1000^PHY(C) +
...
Q2 / (10^PHY(C) - 1) = Q2 / 10^PHY(C) + Q2 / 100^PHY(C) + Q2 / 1000^PHY(C) +
...

Basta mostrar que o algarismo das unidades de I1 eh diferente do algarismo
das unidades de Q1, e que o algarismo das unidades de I2 eh diferente do de
Q2. (pelo algoritmo da divisao vemos que Q1 - I1 = 5^B*C - I1*10^(PHY(C), e
ainda Q2 - I2 = 2^B*C - I2*10^(PHY(C), o que mostra claramente que Q1-I1 e
Q2-I2 nao sao multiplos de 10 e segue o que foi dito acima).

Isso mostra nos dois casos que a parte nao periodica tem A+B numeros, que eh
o maior expoente de 2 ou de 5.

PS. conferi bem as contas para nao precisar me corrigir denovo



From: Luis Lopes

Sauda,c~oes,

Alguém poderia dar as grandes linhas desta demonstração?

Seja N um natural e 1/N uma dízima periódica com n algarismos
na parte não periódica. Então n é dado pelo maior expoente
de 2 ou de 5 na decomposição em fatores primos de N.

[ ]'s
Lu'is