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patrulhas



Sauda,c~oes,
 
Numa demonstração, é importante saber/separar o que se
supõe (hipótese) e a conclusão (tese).  E também ida (ou
primeira parte) e volta (segunda parte). Ou  ==> e <==.
 
Sem entrar no mérito das contas, você agiu certo nas duas
partes.
 
Só gostaria de fazer um comentário: você usou o recurso
do produto escalar = 0 para provar a ida e depois a
representação trigonométrica para a volta. Tudo bem, mas
eu prefiro usar as mesmas idéias quando possível. Experimente
fazer a ida supondo que @ = # + 2k pi +- (pi/2) e veja se sai. Escreva
de volta dizendo o que vc achou.
 
Para o problema das patrulhas, veja o seguinte problema:
 
Numa ilha, falam-se apenas 4 idiomas. Cada habitante fala exatamente dois idiomas e para cada conjunto de dois idiomas, há um único habitante que fala esses dois.
 
Quantos são os habitantes da ilha?
 
O Josimar resolveu este problema supondo que os idiomas são os vértices de um quadrado e os homens, os lados e as diagonais. Assim, há C4,2 lados e diagonais, para um total de 6 habitantes.
 
A analogia com o problema abaixo é imediata. No polígono regular de 11 vértices (patrulhas),  há C11,2=55 lados e diagonais, representando os soldados. E cada soldado é associado a duas patrulhas.
 
Não sei se preciso explicar a fórmula n x 11 = 55 x 2 . Pense assim: imagine que cada soldado precisa assinar um livro de controle. Logo haverá um total de 55X2 assinaturas. Cada patrulha fornece n assinaturas. E como há 11 patrulhas, ....
 
Neste problema usamos algumas estratégias de Polya: resolvemos um outro problema, menor, para "sentir" o problema original; analogia; e a memória.
 
[ ]'s
Lu'is
 
-----Mensagem Original-----
De: Eder
Enviada em: Quarta-feira, 6 de Junho de 2001 00:05

Primeiramente,eu gostaria de expor a seguinte questão do último vestibular do IME:
 
Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si.Prove que dois números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se,e somente se,tivermos:
 
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
 
Eu,agora,gostaria de expor uma resolução minha:
 
 Z1=a+bi  com {a,b,x,y} contido em R
 Z2=x+yi
 Z1" ==> o conjugado de Z1,ou seja, a-bi
 Z2" ==> o conjugado de Z2,ou seja,x-yi
 
Primeira parte: Z1 perpendicular a Z2 ==> Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
 
 
 Considere os vetores Z1(a,b) e Z2(x,y) .Sendo perpendiculares,seu produto escalar é zero:
 
<Z1. Z2 > = 0 ==>  (ax + by) = 0 ==> x=b e y= -a
 
Então Z2 = b - ai  e Z2" = b + ai . Portanto: Z1Z2"= ab + a^2i + b^2i - ab = i (a^2 + b^2).Também temos : Z1"Z2 = -ab + a^2i + b^2i + ab = -i (a^2 + b^2).É facil ver que Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0 .
 
Segunda parte: Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0  ==> Z1 perpendicular a Z2
 
Vou utilizar a notação mod(Z) p/ indicar o módulo de num número complexo Z.
 
Z1= mod(Z1)cis@ ==> Z1"= mod(Z1)cis(2pi - @)
Z2= mod(Z2)cis# ==> Z2"= mod(Z2)cis(2pi - #)
 
(@ e # são os argumentos de Z1 e Z2,respectivamente)
 
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0  <==> mod(Z1)cis@ x mod(Z2)cis(2pi - #) = (-1) x mod(Z1)cis(2pi -@) x mod(Z2)cis#
 
Note que (-1) = cis(pi).
 
Daí:
 
cis(2pi - # + @) = cis(pi + 2pi - @ + #) ==> 2pi - # + @= pi + 2pi - @ + # ==>
 
2@ - 2# = pi ==> @ - # = (pi/2) ==> Z1 perpendicular a Z2.
 
 
 
Eu num tenho lá muita intimidade com demonstrações,por isso gostaria que alguém comentasse essa resolução,obrigado desde já a quem puder dizer algo.
Ah,tem outra questão ,tb do IME,que eu até já vi a resolução,mas mesmo assim fiquei sem entender pq a resposta dá aquilo mesmo.Eis a questão:
 
'Um comandante da companhia convocou voluntários p/ a constituição de 11 patrulhas.Todas são formadas pelo mesmo número de homens.Cada homem participa de exatamente duas patrulhas.Cada duas patrulhas têm somente um homem em comum.Determine o número de voluntários e o de integrantes de uma patrulha."
 
Bem,vi na internet que o número de voluntários é dado por C 11,2 = 55.O número de integrantes de uma patrulha foi calculado desta forma: n x 11 = 55 x 2 ,n = 10.Pois é...Mas eu não estou conseguindo perceber pq dá isso...Já pude ver o quanto tem gente boa no assunto aqui na lista e espero que alguém possa esclarecer essa questão pra mim.Deixa eu me apresentar,meu nome é Eder (já deu pra perceber em alguma mensagens anteriores),sou estudante do ensino médio,pré-vestibulando,e tenho particular interesse por Matemática e Física,por isso procuro tentar resolver exercícios mais complicados, consultar uns livrinhos "pebas" tipo os da Editora Mir,hehehe,é claro que é brincadeira,aqueles livros da Mir são de lascar!Gosto de ler tb os livros da SBM,enfim,tentar saber algo mais,o que não se costuma ensinar nas aulas convencionais do colégio.
 
Falow"s e até a próxima mensagem.