RES: probleminhas

["Einstein" <einstein-n@xxxxxxxxxxxx>]

2)Considere um hexágono regular ABCDEF.Sejam P e M as interseções da
diagonal BD com as diagonais CF e CE respectivamente, e N o ponto de
interseção das retas AD e CE. Determine a área do triangulo PMN em função do
lado deste hexágono.

Basta ver que AD e FC são diametros. Ou seja mede 2l, onde l é o lado.
Daí, chamando o centro da circunferência circunscrita de O, teremos que
triângulo ODC é équilátero e sua área é 1/6 da área do polígono.
O quadrilátero PCDN é inscritível pois: PCN=30, PDN=30 daí, PDC=CND=30,
DCN=DPN=30 e P éponto médiode BD pois PC é Bissetriz do triângulo isósceles
BCD, e com isso, mediana e altura. Da´: CPD=90=CND. P tb é ponto médio de
OC:
;daí temos que a área do triângulo OPD é 1/2 da área do triângulo OCD e com
isso 1/12 da área do hexágono. Mas N é ponto médio de OD, daí:
a área de NPD é 1/2 da área do triângulo OPN, então 1/24 da área do
hexágono.
Mas M é o baricentro do triângulo OCD, então MD/MP = 2/1, e daí triângulo
MPN possui 1/3 da área do triângulo NPD e daí: 1/72 da área do hexágono.
Como a área do hexágono vale seis vezes l ao quadrado vezes  rais quadrada
de 3 sobre 4, temos que a area do triangulo MPN em função do lado é:
   l ao quadrado raiz de 3 sobre 48.

Desculpe por algum eventual erro de conta e os números por extenso, é que eu
não sabia como escrevê-los no teclado...