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Re: Intervalo



a) Pela Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica:
x^2 + y^2 >= 2xy
x^2 + z^2 >= 2xz
y^2 + z^2 >= 2yz
Somando temos que  x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz   implicando que   x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) >= 1/3 + 2/3
x + y + z >= 1   com igualdade quando x = y = z
Também poderíamos chegar ao mesmo resultado usando a Desigualdade de Cauchy
Notemos agora que não existe um limite superior para x + y + z, pois podemos fazer (por exemplo) x = y = 1/z.
Assim:  xy + yz + xz = x^2 + 2  implicando que   x^2 + 2 <= 3   implicando que   0 < x <= 1
Como  z = 1/x  temos que  z>= 1
Assim   x + y + z >= z  pode assumir qualquer valor real, não possuindo  x + y + z  um limite superior
Finalmente  x + y + z >= 1
b) Pela Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica:
xyz <= [(xy + xz + yz)^3]/27 <= 27/27= 1
Assim:  xyz <= 1, com igualdade quando  x = y = z.
Como x, y e z são números reais positivos podemos fazer com que algum deles se aproxime o quanto quizermos de zero.
Assim, como os outros valores vão ser todos finitos, então a multiplicação xyz também vai ser aproximar de zero o quanto quizermos.
Portanto temos que  xyz > 0.
Finalmente  0 < xyz <= 1
Falou.
Marcelo Rufino
 
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, April 18, 2001 9:42 AM
Subject: Intervalo

Olá Galera,
(Olimpíada Britânica/92)
Sejam x,y e y números reais positivos, satisfazendo:
 
1/3 <= x*y + y*z + x*z <= 3
 
Lê-se <= (menor ou igual)
 
Determine o intervalo dos valores dê:
 
a) x+y+z
b) x*y*z
 
Valeu!
Fábio