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Re: Parte inteira - insistente
Ola Villard e
amigos da Lista !
Cordiais Saudacoes a Todos !
Dando continuidade a nosso papo : ACREDITO QUE SIM. Penso que ha um melhor
valor de K. Vou tentar explicar melhor as coisas
(Nao sei se isso acontece com todo mundo ou e uma infeliz particularidade
minha persolnalidae ... Ter ideias pra resolver questoes dificeis e , em
geral, facil. Dar uma feicao matematica a estas ideias tambem e, em geral,
facil. Mas, EXPLICAR IDEIAS, parece ser algo MUITO DIFICIL ... as vezes
penso que e porque as palavras sao pobres para explicarem aquilo que vemos
... as vezes penso que e porque eu realmente sou ruim nisso ... Eu
francamente e publicamente peco desculpas a todos os colegas, que muito
prezo, se, de alguma forma, fui ou/e estou sendo confuso : nao e intencional
!)
Seja A={A1, A2, A3, ...} uma sequencia de numeros e F={F1, F2, F3, ... } uma
sequencia de fatores. Suponhamos que :
LIM Fn = Q e que Fi < Q se i e impar e Fi > Q se i e par, isto e, a
sequencia F1, F2, ... converge para Q ( Q < 1)mas os seus termos oscilam em
torno de Q, ora sendo maior, ora sendo menor, mas sempre se aproximando mais
e mais de Q.
Vamos agora construir a sequencia Ai*Fi ( * e o sinal de multiplicacao)
que chamaremos de Bi. Assim, Bi=Ai*Fi.
Considere agora a progressao geometrica Cn = Ck*(Q^n), onde Ck e algum dos
Ai ( pode ser A1, A100, A23, etc : nao sabemos ainda!).
A minha ideia e que : escolhendo um Ck conveniente, comparamos a evolucao
dele com os sucessivos Bi, para i >= K.
Suponha que seja Ck=A7. Logo K=7. Entao os sucessivos valores da sequencia B
serao A7*F7, A8*F8, A9*F9, ...
Os sucessivos valores da sequencia B sao A7*Q, A7*Q^2, A7*Q^3, ...
Entao, nao obstante os valores da sequencia B sejam diferentes dos valores
da sequencia C, as somas no final se compensam, e teremos que o somatorio
infinito de B e igual ao somatorio infinito de C.
Na serie do colega Villard ocorre isso. A sequencia dos inversos dos numeros
de fibonaci sao gerados multiplicando-se cada termos anterior por um fator
que ora e menor que o numero fi, ora e maior que o numero fi , mas que se
aproximam mais e mais de Fi, convergindo para ele, portanto, se escolhermos
o ponto de partida conveniente e fixarmos o fator ( que e a PG infinita a
que me refiro abaixo ), a soma da PG infinita e a soma do Villard, no final,
serao iguais !
A minha ideia e determinar que condicoes devem satisfazer os fatores
variareis Fi para que exista um ponto de partida que que uma igualdade entre
as duas somas infinitas. A seguir, mostrar que estas condicoes sao
satisfeitas pela sequencia dos inversos dos numeros de fibonaci.
Se ninguem no Mundo nao fez isso e isto e um problema em aberto, este fato
deve ser irrelevante para nos ou mesmo estimulante, pois e uma amostra da
saudavel audacia e qualidade do que se discute em nossa lista ! Por outro
lado, se ninguem fez ou algum cara muito bom nao fez ( por exemplo: Euler,
Gauss, Newton ) isso nao significa que nao seja factivel : a ciencia parece
progredir justamente indo alem daquilo que nossos anteriores fizeram !
Em sintese : Esse papo pode nos levar longe !
Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao, nos termos abstratos que expus
acima e, havendo tempo, oportunamente vou publicar qualquer resultado
generico que conseguir.
Um Grande abraço a todos
Paulo Santa Rita
4,2337,18042001
>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Parte inteira - insistente
>Date: Wed, 18 Apr 2001 21:13:33 -0300
>
>Eu tentei achar o valor para o qual a sequência converge e como não
>consegui, fiz algumas contas pelo computador... calculei o somatóio até
>G(100), depois até G(1000). Os valores são muito parecidos...
>aproximadamente 3,5988.... Alguém se habilita a achar o valor exato ?
>E isso que você falou de achar um "melhor" K, não sei se é possível não....
>pq para cada aproximação desejada, vai existir um K. Mas existe um desses
>que é a melhor aproximação de todas ???
>Abraços,
> ¡ Villard !
>
>
>-----Mensagem original-----
>De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 17:06
>Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>
>
> >Ola Luis Lopes, Villard e
> >demais colegas da Lista :
> >
> >Saudacoes !
> >
> >Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
> >Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum
>momento
> >anterior.
> >
> >Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
> >cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
> >solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
> >isso.
> >
> >Antes gostaria de Citar um Livro :
> >
> >A Divina Proporcao
> >(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
> >H.E. Huntley
> >Editora Universidade de Brasilia.
> >
> >Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
>de
> >ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para
>aticar
> >a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
> >seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena
>le-lo
> >!
> >
> >Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
> >conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
> >
> >Fn+2 = Fn+1 + Fn.
> >
> >A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }.
>Vou
> >representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
> >
> >Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz
>quadrada
> >de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
> >ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
> >como :
> >
> >H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
> >RZ_2(5) ) / 2 )
> >
> >Sabemos que Binet mostrou que :
> >
> >Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
> >Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto :
>LIM
> >Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H
><
> >1.
> >
> >O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3
>+
> >1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
> >todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
> >
> >
> >Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
> >
> >
> >O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n”
>suficientemente
> >grande, a sequencia :
> >
> >Gn, Gn+1, Gn+2, ...
> >
> >Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
> >visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ...
>
> >igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
> >
> >Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
> >somada como seque :
> >
> >S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}.
>isto
>e
> >:
> >S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
> >S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
> >
> >A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da
>questao.
> >O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
> >conhecida. Assim, definimos a funcao :
> >
> >S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
> >
> >Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao
>infinito,
> >dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator
>constante
> >(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
> >intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE (
>ou
> >EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
> >
> >MINHA IDEIA
> >
> >Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um
>MINIMO,
> >senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao
>desaparecer,
> >o que tornara as coisas mais faceis.
> >
> >Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
> >(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
> >coisas e determinar K. E legal !
> >
> >Um abraco a todos
> >Paulo Santa Rita
> >4,1532,18042001
> >
> >>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re: Parte inteira - insistente
> >>Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
> >>
> >>Sauda,c~oes,
> >>
> >>< .... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a
>série
> >>converge ( que é o meu palpite ! ), ....
> >>
> >>Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada
>(se),
> >>outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo
> >>interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam
>nossa
> >>correspondência.
> >>
> >>===
> >>Dear Luis:
> >> Maybe the proposer had something in mind that I missed.
> >>I would certainly be interested if he had some sort of exact
> >>formula for the sum of the series. What I did to evaluate
> >>\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
> >>am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
> >>
> >>Cecil
> >>
> >>Luis Lopes wrote:
> >>
> >>Dear Cecil,
> >>
> >>Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this
> >>(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it
> >>was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I
>will
> >>forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the
> >>"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy
>to
> >>talk to you. Cheers, Luis
> >>
> >>===
> >>
> >>Então foi isso. E aí, alguém teria um ataque (approach) mais
>satisfatório?
> >>
> >>[ ]'s
> >>Lu'is
> >>
> >> De: Rodrigo Villard Milet
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Enviada em: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 22:15
> >> Assunto: Re: Parte inteira - insistente
> >>
> >>
> >> Bem, se quer saber a origem do problema, é a seguinte:
> >> O Marcelo Souza, daki da lista me manda às vezes uns problemas e ele
>me
> >>mandou, certa vez um que era pra ver se uma série lá convergia.... daí,
>eu
> >>percebi que a gente pode criar várias séries que geram problemas muito
> >>intererssantes e a primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe....
> >>nem sabia que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na
> >>lista tb fui eu que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja,
> >>saber se realmente a série converge ( que é o meu palpite ! ), pois
> >>[(1-sqrt5)/2]^n tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de
>uma
> >>PG.... sei lá...
> >> Abraços,
> >> ¡ Villard !
> >> -----Mensagem original-----
> >> De: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 19:29
> >> Assunto: Re: Parte inteira - insistente
> >>
> >>
> >> Sauda,c~oes,
> >>
> >> Aí vai a resposta "completa" para o problema.
> >>
> >> Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor dizendo,
> >> você esperava uma resposta fechada? Qual a origem deste
> >> problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me que ele
> >> aparecera há muito tempo na lista. E também não tivera nenhuma
> >> idéia de como tratá-lo.
> >>
> >> Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta numérica.
> >>
> >> [ ]'s
> >> Lu'is
> >>
> >
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