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1) Note que n^5 + n^4 + 1 = (n^2 + n + 1)(n^3 - n + 1),
e ambos os fatores são maiores que 1 para n > 1.
2) Inicialmente temos que n < 16 pois 16^16 + 1 > 10^19
+ 1 (tente provar isto!!)
Seja n = (2^m).k, onde k é ímpar.
Assim, caso k > 1: n^n + 1 = n^[(2^m).k] + 1 =
[n^(2^m)]^k + 1^k = [n^(2^m) + 1][n^(2^m)^(k - 1) - n^(2^m)^(k - 2) + ... +
1]
Assim, para que n^n + 1 seja primo então
teremos k = 1, implicando que n seja uma potência de 2.
Conferindo: 1^1 + 1 = 2 (confere), 2^2 + 1 = 5
(confere), 4^4 + 1 = 257 (confere), 8^8 + 1 = (2^8)^3 + 1 que
é divisível por 2^8 + 1 = 257, implicando que 8^8 + 1 não é
primo.
Portanto, as soluçõe são 2, 5 e 257.
Falou,
Marcelo Rufino
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