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Re: Parte inteira - insistente



Bem, se quer saber a origem do problema, é a seguinte:
O Marcelo Souza, daki da lista me manda às vezes uns problemas e ele me mandou, certa vez um que era pra ver se uma série lá convergia.... daí, eu percebi que a gente pode criar várias séries que geram problemas muito intererssantes e a primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe.... nem sabia que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na lista tb fui eu que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série converge ( que é o meu palpite ! ), pois [(1-sqrt5)/2]^n tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de uma PG.... sei lá...
Abraços,
    ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 19:29
Assunto: Re: Parte inteira - insistente

Sauda,c~oes,
 
Aí vai a resposta "completa" para o problema.
 
Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor dizendo,
você esperava uma resposta fechada? Qual a origem deste
problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me que ele
aparecera há muito tempo na lista. E também não tivera nenhuma
idéia de como tratá-lo.
 
Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta numérica.
 
[ ]'s
Lu'is
 
===
Dear Luis:

    The series converges by comparison with the geometric
series $\phi^(-(n-2))$ (where $\phi$ is the golden ratio), and
the value of $\floor 50 H \rfloor$
is easily found by numerical calculations (using Maple) by
computing the $N$th partial sum for an appropriate $N$
and bounding the tail by using
$$
\sum_{n=N+1}^{\infty} 1/F_n < \phi^(-(N-3))
$$
$N = 25$ is a suitable value, and this gives  $\lfloor 50H \rfloor = 167$.
I didn't see an elegant way to do this (that is, not relying on Maple).
As I pointed out earlier, it is my understanding that there is no known
exact value (i.e. in "standard" constants, $\phi, e, \sqrt{5}$, etc.)
for the sum of the series.  I know that this may be somewhat
disappointing, but I hope that it is helpful nevertheless.

Cecil
===

-----Mensagem Original-----
Para: Obm
Enviada em: Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 21:40
Assunto: Parte inteira - insistente

Primeia parte : Qual é o limite de somatório de 1/F(n) com n variando de 1 até G , onde F(n) é o n-ésimo da sequência de Fibonacci, com G tendendo a infinito ??
Segunda parte : Se o limite não for infinito, e é igual a H, calcular a parte inteira de 50H.
 
Abraços,
     ¡ Villard !