Re: Ajuda!!!Algebra

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Achei outra solução, que não bate com nenhuma das anteriores e vai pelo
método da primeira, pois errei a expansão de (a+b+c)^4 na mensagem anterior:
faltava o 12abc(a+b+c)


1) Faça a^4 + b^4 + c^4 = X

2) Pelas equações do problema temos:

			a^4	{ac^3 + ab^3}	 {(ab)^2}	 
   2.1)81 = (a+b+c)^4 = b^4 + 4	{ba^3 + ca^3} + 6{(ac)^2} + 12abc(a+b+c)
			c^4	{ab^3 + cb^3}	 {(bc)^2} 
	OBS: 12(a+b+c)abc = 36abc

   2.2)169 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2((ab)^2+ (ac)^2 + (bc)^2)

				   {a^4}   {ac^3 + ab^3}
   2.3)81 = (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = {b^4} + {ba^3 + ca^3}
				   {c^4}   {ab^3 + cb^3}

			a^3	{ba^2+ca^2}
   2.4)27 = (a+b+c)^3 = b^3 + 3	{ab^2+cb^2} + 6abc
			c^3	{ac^2+bc^2}

				   a^3	 {ba^2+ca^2}
   2.5)39 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = b^3 + {ab^2+cb^2}
				   c^3	 {ac^2+bc^2}
	 {ac^3 + ab^3}
3) Faça: {ba^3 + ca^3} = Y
	 {ab^3 + cb^3}
	 
	( (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 ) = Z
	
	{ba^2+ca^2}
	{ab^2+cb^2} = W
	{ac^2+bc^2}

4) As equacões ficam:
   4.1)81  = X + 4Y + 6Z + 36abc
   4.2)169 = X + 2Z
   4.3)81  = X + Y
   4.4)27  = 27 + 3W + 6abc
   4.5)39  = 27 + W
   
5) 2abc = - W		(por 4.4)
   W = 39 - 27 = 12	(por 4.5)
   
   Logo, abc = -12/2 = -6

   2Z = 169 - X	(por 4.2)
   Y  = 81  - X	(por 4.3)

Substituindo em 4.1) vem
81 = X + 4(81 - X) + 3(169 - X) + 36(-6)
4X + 3X - X = 6X = 4*81 - 81 + 3*169  - 3*72 = 3*(81 + 169 - 72)
3*2X = 3*(81 + 169 - 72)
X = (81 + 169 - 72)/2 = 178/2 = 89

Confiram as contas, esses problemas quando resolvidos "no braço" ficam altamente
sujeitos a erros.

Até mais



-- Mensagem original --

>Errei algumas contas ! abaixo vai o corrreto ! Mas mesmo assim deu diferente
>dos 125 do marcelo brazão....
>-----Mensagem original-----
>De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Sábado, 14 de Abril de 2001 22:35
>Assunto: Re: Ajuda!!!Algebra
>
>
>>Primeiramente você constrói uma equação do terceiro grau cujas raízes
são
>>a,b e c : (x-a)*(x-b)*(x-c) = 0 ....
>>ou seja x^3 - (a+b+c)*x^2 + (ab+ac+bc)*x - abc = 0
>>-Eleve a+b+c = 3 ao quadrado : a^2+b^2+c^2 +2*(ab+ac+bc) = 9 implica
>>(ab+ac+bc) = -2;
>>-Eleve a+b+c=3 ao cubo :
>>a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c) + 6abc = 27  ....
>>... ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) +6abc = 0 ... ab(3-c)+ac(3-b)+bc(3-a)+6abc=
>0 ...
>>...3(ab+ac+bc) = -3 abc ... abc = 2
>>Daí, nossa equação do terceiro grau toma a seguinte forma :
>>x^3 - 3x^2 -2x - 2 = 0
>> Seja S(n) = a^n + b^n + c^n
>>Pela Fómula de Newton ***, temos :
>>S(n+3) - 3*S(n+2) - 2*S(n+1) - 2*S(n) = 0
>>Faça n = 1. Daí, S(4) = 3*S(3) + 2*S(2) + 2*S(1) .... S(4)
>=3*27+2*13+2*3...
>>... S(4) = 113 !!!!!!!!!!!
>>
>>
>>*** Fórmula de Newton :
>>Seja a raiz da equação lá de cima ( do terceiro grau ).
>>Logo, a^3 - 3*a^2 - 2*a + 2 = 0. Multiplique tudo por a^n :
>> a^(n+3) - 3*a^(n+2) -2*a^(n+1) + 2*a^n = 0        (1)
>>Analogamente, como b e c são raízes :
>> b^(n+3) - 3*b^(n+2) -2*b^(n+1) + 2*b^n = 0        (2)
>> c^(n+3) - 3*c^(n+2) -2*c^(n+1) + 2*c^n = 0         (3)
>>Somando (1),(2) e (3), temos justamente a fórmula de Newton.
>>
>>¡ Villard !
>>
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: yuri.c.martins@zipmail.com.br <yuri.c.martins@zipmail.com.br>
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Data: Sábado, 14 de Abril de 2001 21:34
>>Assunto: Ajuda!!!Algebra
>>
>>
>>>Pessoal
>>>Sendo a+b+c=3 , a²+b²+c²=13 e a³+b³+c³=27 Como determino a elevado a
>quarta
>>>potência + b elevado a quarta potência + c elevado a quarta potência?
>>>
>>>Obrigado desde já
>>>
>>>
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>>>http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
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