axiomas e verdades matemáticas

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista,

    Estudando um pouco de fundamentos da matemática, me vieram grandes 
dúvidas sobre o que é uma "verdade absoluta" em matemática, independente de 
qualquer sistema de axiomas, e como prová-las.
    A primeira dúvida: o que é um sistema de axiomas? Em algumas disciplinas 
do bacharelado em matemática, como Análise Real e Álgebra, vemos 
demonstrações a partir de alguns axiomas, como as propriedades de adição e 
multiplicação, propriedades de ordenação e axioma do supremo. Porém, as 
deduções dos teoremas a partir dos axiomas, usam os argumentos lógicos 
tradicionais, tidos como verdadeiros e incontestáveis.
    Mas alguns sistemas mais formalizados, utilizam regras de inferência 
como Modus Ponens e substituição uniforme. As sentenças (as chamadas wff) 
passam a ser sequências de símbolos que obedecem certas regras de formação e 
os teoremas são obtidos mecanicamente a partir dos axiomas e regras de 
inferência. As sentenças acabam se tornando livres de qualquer significado 
intuitivo para demonstrarmos os teoremas.
   Ficam, aí, duas perguntas: 1-todos sistemas são formalizados dessa 
maneira, incluindo ZFC e Postulado de Euclides? 2-Por mais mecânico que 
seja, o fato de um sistema implicar tal teorema, não é uma verdade 
independente do sistema? Não seria uma verdade absoluta que estou admitindo 
como verdadeira sempre?

   Outra dúvida ainda mais cruel. A matemática moderna defende que todas as 
verdades matemáticas precisam decorrer de um sistema de axiomas, de forma 
que, nada que se demonstra em matemática é absoluto. Uma pergunta: O teorema 
de Godel depende de que axiomas? Ou melhor, a metamatemática se baseia em 
que axiomas, se ela, em si, estuda os sistemas de axiomas? Se dissermos: o 
teorema de Godel se baseia no ZFC ou em outro sistema de teoria dos 
conjuntos (segundo a matemática moderna, toda a matemática é baseada em um 
sistema de axiomas para teoria dos conjuntos), então quer dizer que, se 
mudássemos esse sistema, poderíamos ter que o teorema de Godel fosse falso, 
revendo a possibilidade de cumprir o velho sonho de termos uma matemática 
consistente e completa.
    O segundo teorema de Godel diz que, se um sistema é consistente, sua 
consistência não pode ser provada dentro do próprio sistema. Surge a dúvida: 
como provar a consistência? Um sistema é consistente ou não é consistente. 
Isso é absoluto. Ou ele prova uma sentença e sua negação ou ele não prova 
nenhuma sentença e sua negação. Não faz sentido dizermos que isso depende se 
estamos trabalhando no ZFC ou não.

    Em resumo: afinal, o que é absoluto na Matemática? Em outras palavras, o 
que realmente afirma, como verdade, essa ciência (ou ramo do saber, se não 
querem chamar a matemática de ciência) à qual dedicamos tantas horas por dia 
e que está tão presente no nosso cotidiano? Dizer que nada na Matemática é 
absoluto, é o mesmo que dizer "A matemática nada afirma, ela não existe", já 
que um ramo do saber que nada afirma não existe.

    Agradeço a atenção e paciência de terem lido tudo isso. Agradeço mais 
ainda se alguém responder ou pelo menos indicar um bom livro onde eu posso 
estudar Fundamentos da Matemática realmente "a fundo".

Rogério
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