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Essa tal demonstracao errada nao seria de
Lagrange, em vez de Legendre?
[]s, Josimar
Desculpe, mas faz pouco tempo a
professora de algebra linear provou que por dois pontos distintos passa
somente uma unica reta(na euclidiana).
Portanto ou essa definiçao
de axioma esta errada, ou isso de 2pontos1reta nao é
axioma.
¿¿¿Alguem pode
resolver este misterio???
At 17:39 09/04/01 -0300, you
wrote:
Como alguns
devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e,
para
tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada
teorema.
(Axioma é algo que não pode ser provado e que
o bom senso diz ser verdadeiro. Um
exemplo de axioma seria o de que
"por dois pontos distintos passa uma e somente
uma
reta")
Várias geometrias foram
construídas ao longo dos tempos, excluindo um ou
outro axioma.
Em geral, devido a sua não-obviedade, o primeiro axioma a
ser
excluído era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto
P não pertencente a
r, existe um e somente uma reta paralela a
r que passa por P). Assim surgiram as
geometrias
não-euclidianas, com várias aplicações
teóricas e algumas práticas.
Resumidamente, são
classificadas de acordo com a soma dos ângulos internos de
um
triângulo: maior que 180 ou menor que
180.
A geometria esférica (ou da esfera
de Rienman) é aquela onde as retas são
os
círculos máximos, isto é, de centro no centro
da esfera e raio até um ponto
desta. Com tais retas, pode-se
construir um triângulo com três (!!) ângulos
retos.
Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador.
Se
necessário, pegue um globo terrestre. É fácil
ver que o V postulado (o axioma
das paralelas escrito por Euclides)
não vale nessa geometria.
A geometria
do Plano de Poincaré (é essa a geometria
elíptica?) toma a
região do plano cartesiano onde
y>0 e adota como retas x = k e arcos de
circunferências
centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer
estranho
à primeira vista (e realmente é), mas, assim,
vc pode construir um triângulo com
menos de
180.
Já a geometria Euclidiana foi
reescrita por alguns, como por exemplo por
Legendre. Legendre
resolveu adotar outros postulados para construir a mesma
geometria de
Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu
um
erro de raciocínio que passou indetectado por anos. Isto
é, todos sabiam que
haviam um erro na
argumentação dele, mas não conseguiam
achá-lo. Quem tiver
acesso, vale a pena dar uma olhada nos
livros dele.
Espero ter sido de alguma ajuda
e/ou esclarecimento e espero também que
alguém me
corrija se tiver falado umas besteirinhas...
:-)
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: Villard, vc deve
(ou pelo menos deveria) estar vendo estas noções (e
não o
estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo
de geometrias
não-euclidianas MESMO, só em Geometria
II, que é eletiva. A propósito, bem
vindo, calouro.
Abraços do seu veterano.. hehe
Rodrigo Villard Milet
wrote:
> Sim ! Se você tiver soma dos ângulos
internos igual a 180, com certeza está
> presente o axioma
das paralelas !
> ¡ Villard !
> -----Mensagem
original-----
> De: Rogerio Fajardo
<rogeriofajardo@hotmail.com>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
<obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Segunda-feira, 9 de Abril de
2001 11:40
> Assunto: Re: triângulo com mais de
180o?
>
> >
> >Isso significa que
poderíamos substituir o axioma das paralelas pelo
>
>axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos
ângulos é 180°"? Isto é,
> >a
existência de um triângulo cuja soma dos ângulos
é 180° implica o axioma
> >das paralelas e,
consequentemente, que em todos os triângulos a soma dos
>
>ângulos é 180°?
> >
> >>From:
"Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To:
<obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re:
triângulo com mais de 180o?
> >>Date: Sun, 8 Apr 2001
18:46:03 -0300
> >>
> >>
Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma
dos ângulos
> >>do
> >>triângulo
pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
>
>> Mas como esta não é minha
especialidade, deixo para os mestres da
> >>lista
>
>>comentarem mais o assunto!
> >>
>
>>----- Original Message -----
> >>From: "Rodrigo
Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>To:
<obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Sent: Sunday, April 08,
2001 1:14 AM
> >>Subject: Re: triângulo com mais de
180o?
> >>
> >>
> >> > A soma dos
ângulos internos de um triângulo só é 180
graus na geometria
> >> > euclidiana. Explicanco melhor :
Se você verificar que a soma dos
> ângulos
>
>> > internos de um triângulo é 180, você
só pode estar trabalhando com a
> >> > geometria
euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a soma
dos
> ângulos
> >> > internos do
triângulo é > 180 graus. Mas esse triângulo
não é definido
> >>na
> >> >
geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos
angulos
> é
> >>180
> >> >
decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo
euclidiana.
> >> > Certamente, se você
considerar uma geometria na superfície de uma
>
>>esfera,
> >> > onde as retas são os
grandes círculos, note que PAB será um
triângulo
> >>sim.
> >> > Mas como
nessa geometria não vale o axioma das paralelas, não
podemos
> >> > afirmar nada sobre a soma dos
ângulos (só q ela é > 180).
>
>> > Abraços,
> >> >
¡Villard!
> >> > -----Mensagem
original-----
> >> > De: vinicius
<rachador@mailbr.com.br>
> >> > Para:
obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> >
Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
> >> > Assunto:
triângulo com mais de 180o?
> >> >
> >>
>
> >> > >considerem a forma esférica da
Terra. tracemos duas linhas de seu
> >>extremo
>
>> > >superior ou inferior (pólo norte ou pólo
sul) - ponto P - até dois
> >>pontos
> >>
> >distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e
B. PAB pode ser
> >> > >considerado um
triângulo? se a resposta for afirmativa, este
triângulo
> >> > >possuirá soma interna
de seus ângulos maior que 180o. isto está de
>
>>acordo
> >> > >com a definição
de triângulo?
> >> > >
> >> >
>
> >> >
> >> >
>
>>
> >
>
>_________________________________________________________________________
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> >
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