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Re: Campeonato de ... Domino ? ( Correcao )
Ola Colegas.
Esqueci de acrescentar a seguinte regra de combinacao :
4) Quando superpomos uma letra sobre outra, nenhuma destas duas
letras podera ser novamente superposta por outra.
Desculpas !
Aproveitando a aportunidade, gostaria de acrescentar que os aspectos que
podem parecer por demais arbitrarios, como :
1)O numero que uma pedra representa e tres vezes a quantidade de letras "A"
mais a quantidade de letras "B". (Por que nao : cinco vezes a quantidade de
letras "A" mais o dodbro da quantidade de letras "B". Certo ? )
2)Em qualquer pedra, a quantidade de letras "A" nao pode ser menor que a
quantidade de letras "C" ( Por que esta limitacao ? )
3)A pedra base de ter, no minimo, duas letras "B" e duas letras "C"
(Por que esta regra ? )
Sao derivados do contexto onde nasce o problema.
Na regra 1)"A" e o indicativo de vitoria,"B" de empate. O numero e o total
de pontos ganhos.
Na regra 2)Esta regra e fruto de um outro teorema que eu encontrei :
Teorema 2 : Se a quantidade de vitorias for inferior a quantidade de
derrotas entao o clube nao tem colocacao garantida.
Na regra 3)Uma pedra base só com letras "A" nao permitiria o jogo comecar.
O problema de contexto e (Problema "Iolanda/Josimat") :
N+1 clubes disputam um campeonato, composto de dois turnos. Classificam-se
para o segundo turno os C clubes com melhor pontuacao. No prmeiro turno
quaisquer dois clubes jogarao entre si uma unica vez:
1)Uma vitoria confere 3 pontos
2)Um empate da 1 ponto
3)Uma derrota nao confere pontos
Qual a quantidade minima de pontos que um clube de fazer no primeiro turno
de forma a estar entre os C primeiros classificados.
Eu apresentei uma solucao geral, acho que bastante sintetica e entao muitas
pessoas me escreveram pedindo esclarecimentos. Foi ai que vendo o jogo de
domino eu vislumbrei uma forma de torna clara a minha ideia.
Este problema pode ser equacionado, como segue :
(V e a quantidade de Vitorias, E a quantidade de empates e D a quantidade de
derrotas )
2*D + E + 1 =< C
3*D + 2*E é maximo.
Traduzindo : dentre todos os pontos (D,E) que satisfazem a inequacao "2*D +
E + 1 <= C" encontre aquele que torna a expressao 3*D + 2*E maxima.
SE MAIS UM PONTO TORNA "3*D + 2*E" MAXIMO, TODOS DEVEM SATISFAZER A
INEQUACAO 2*D + E + 1 =< C.
"C" e a quantidade de vagas para o 2 turno.
Achando o maximo expresso por 3*D + 2*E ( chamarei de MAX), o minimo de
pontos e:
MIN_PON = 3*N - MAX
N e o numero de jogos.
O TEOREMA 2 sai do fato : 2*D+E+1 > V+D+E+1 => D > V. Pois "V+E+D+1" e a
quantidade de clubes que disputam o 1 turno.
Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1441,10042001
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Campeonato de ... Domino ?
>Date: Tue, 10 Apr 2001 15:00:14
>
>Ola Colegas da Lista,
>Saudacoes a Todos !
>
>Outro dia, vendo algumas pessoas jogarem Domino, percebi que as regras
>deste jogo, se devidamente modificadas, podem ser usadas na resolucao de
>alguns problemas matematicos interessantes ...
>
>Pensei pois que nao seria de todo desinteressante mostrar a voces um dos
>resultados que consegui
>
>Para que possamos ver como e possivel esta aplicacao, adotarei as seguintes
>convencoes :
>
>1) As pedras do jogo são sequencias literais, formadas com letras
>“A”, “B” e “C”.
>2) Todas as pedras do jogo devem ter a mesma quantidade de letras
>3) Na composicao de uma pedra podemos repetir ou/e omitir uma ou mais
>letras.
>4) Cada pedra construida representa um numero, dado pela soma entre o
>triplo de letras “A” e a quantidade de letras “B”
>5) Em qualquer pedra a quantidade letras “A” não pode ser menor
>que a quantidade de letras “C”.
>
>Exemplo : A sequencia {AAABBC} e uma pedra. Ela representa o numero 3*3 + 2
>= 11.
>
>As pedras deste domino podem ser combinadas da seguinte maneira :
>
>1) Superpondo uma letra “B” de uma nova pedra com uma letra
>“B” de outra pedra, já existente.
>2) Superpondo uma letra “A” de uma nova pedra com uma letra
>“C” de outra pedra, já existente.
>3) Superpondo uma letra “C” de uma nova pedra com uma letra
>“A” de outra pedra, já existente.
>
>Apos combinarem a quantidade de letras que toda pedra devera Ter, o jogo
>segue da seguinte forma :
>
>1) O primeiro jogador monta a primeira pedra. Esta pedra e chamada base. A
>base e arbitraria, mas deve Ter, ao menos, duas letras “B” e
>duas letras “C”.
>2) O segundo jogador monta uma nova pedra, combinando-a com a base
>3) O primeiro jogador monta uma nova pedra, combinando-a com as duas já
>existentes.
>4) Repetem-se as montagens alternadas. Cada nova pedra montada deve
>combinar com todas as que já existem e representar um numero maior ou igual
>ao da base.
>5) O jogo termina quando não for possivel montar mais pedras. Vence o jogo
>o jogador que montou mais pedras.
>
>As “pedras” podem ser feitas de tiras de papelao. Deixa-se as
>casas ( pequenos quadrados, em fila indiana ) em branco. A cada jogada o
>jogador apanha uma tira e preenche as casas com as letras que achar mais
>conveniente.
>
>Um problema Matematico interessante e o seguinte :
>
>Partindo de uma base dada, quantas tiras eu devo fazer de forma que não
>falte material para os jogadores montarem suas pedras ( incluindo ai a
>pedra base ) ?
>
>Isso significa que precisamos determinar qual a quantidade maxima de pedras
>que podem ser usadas em uma partida, vale dizer, a quantidade maxima de
>pedras que podemos montar de forma que duas a duas estejam combinadas entre
>si e com a base, todas representando um numero maior ou igual ao
>representado pela base.
>
>Esta questao me pareceu interessante porque envolve aspectos combinatoriais
>e numericos.
>
>Eu descobri o seguinte,
>
>TEOREMA : Se representarmos por “D” a quantidade de letras
>“C” e por “E” a quantidade de letras
>“B” que existem na pedra base, entao a quantidade maxima de
>tiras que e preciso fazer e “2*D + E + 1”.
>( Incluindo a tira da pedra base )
>
>O jogo tem seus atrativos, A demonstracao do teorema e simples. O teorema
>pode ser aplicado em outras circunstancias, permitindo o equacionamento de
>problemas dificeis ...
>
>A desigualdade : 2*D + E + 1 =< C. E um destes equacionamentos.
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>3,1150,10042001
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