Re: somatorio

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Gostaria de fazer alguns comentários sobre esta soma
e somas finitas em geral. Assunto recorrente nesta lista.

No livro Manual das Funções Exp. e Log., no exercício 118
mostro que a seq. H_n - ln n é uma seq. monótona decrescente
limitada. Logo convergente. Escrevemos
                    gama = lim n-->00 (H_n - ln n).

No livro Manual de Seq. e Séries, mostro que a fórmula da soma
de Euler-Maclaurin, aplicada para f(k)=1/k, é aproximadamente (~~)
igual a

H_n ~~ ln n + (n+1)/2n + (1-n^{-2})/12 - (1-n^{-4})/120  + (1-n^{-6})/504

Então,

gama = lim n-->00 (H_n - ln n)  ~~ 1/2 + 1/12 -1/120 + 1/504 = 0,5769841

Com mais rigor, mostra-se que (ver a bibliografia na obra acima)

H_n = ln n + gama + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - e,   0 < e < 1/252n^6

Falou-se também na soma

===
Somatório (1/(n)(n+1) = A/n - B/(n+1) = (An + A -Bn)/ (n)(n+1) ....
===

Uma técnica para achar tais somas é encontrar a(uma) antidiferença do termo
no
somatório (na verdade é o que o cálculo acima faz. Infelizmente o somando
1/k não tem uma antidiferenca). Foi com esta técnica que encontrei o valor
da
soma  sec (k alpha) sec (k+1) alpha   para k=1,...,n  sec=secante

Concluo dizendo que muito do que falei pode ser visto no site
www.escolademestres.com/qedtexte
nas amostras em pdf dos livros mencionados acima .

[ ]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Bruno F. C. Leite <bruleite@uol.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 12 de Março de 2001 11:35
Assunto: Re: somatorio


Tem uma fórmula que aproxima MUITO bem esse somatório: seja
S(n)=1+1/2+1/3+...1/n.

Então S(n)= ln(n) + gama + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(240n^4) onde gama é a
constante de Euler 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992

Bruno Leite