Oi gente:
Voces sabem quanto vale a distância entre o
circuncentro O e o ortocentro H de um triângulo?
A relacao eh
(OH)^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2).
O problema implica de imediato que o ortocentro
coincide com o circuncentro e, consequentemente,
o triangulo eh equilatero.
Chamar isto de solucao eh uma covardia uma vez que
a demonstracao da formula acima dah um grande
trabalho. Quase tanto quanto o Carlos Victor teve.
Mas, eh uma curiosidade interessante.
Abraco,
Wagner.
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From: Carlos Victor <cavictor@uol.com.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br, <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re: ajuda
Date: Sat, Mar 3, 2001, 11:28
Oi Filho ,
Vamos a uma solução no braço .
Como a= 2RsenA , b =2RsenB e c = 2RsenC , temos que (senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2 = 9/4 .
Observe que fazendo senA = sen(B+C) = senBcosC + senCcosB , a igualdade acima será
equivalente a cosA.cosB.cosC = 1/8 , ou seja o triângulo é acutângulo. Usando a Lei dos co-senos
teremos que : (b^2+c^2-a^2).(c^2+a^2-b^2).(a^2+b^2-c^2)= a^2.b^2.c^2 e tomando
x = b^2+c^2-a^2 , y = c^2+a^2-b^2 e z = a^2+b^2-c^2 , chegamos a
8x.y.z = (y + z).(x +z).(x + y) ou ( y/x + z/x).( x/y + z/y).(x/z + y/z ) = 8 . Observe que o lado
esquerdo da igualdade é : 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z e, como x,y e z são números
positivos temos 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z > 8 e a igualdade ocorre quando x=y=z ; ou
seja a =b =c .
Confira as contas , ok ?
Abraços , Carlos Victor
At 21:59 1/3/2001 -0300, filho wrote:
Prove que se num triângulo vale a relação a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 9 R ^ 2, então a = b = c , onde R é o raio da circunferência circunscrita ).
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