Re: Uma soma interessante

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Daniel" <danielcosta@directnet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Chamemos f(n) a série
1/(1*3)+...+1/[(2n-1)*(2n+1)]
Temos que f(n)=n/(2n+1).Podemos provar isso por indução,i.e., provamos que 
f(1)=1/(2*1+1) (o que é imediato) e que, se f(n)=n/(2n+1), então 
f(n+1)=(n+1)/(2(n+1)+1).
  Para isso, suponhamos f(n)=n/(2n+1). Teremos, por definição de f(n), 
f(n+1)=f(n)+1/[(2(n+1)-1)*(2(n+1)+1)]. Temos, então:
    f(n+1)=n/(2n+1)+1/[(2n+1)*(2n+3)]
    f(n+1)=[n(2n+3)+1]/[(2n+1)*(2n+3)]
    f(n+1)=[(2n+1)*(n+1)]/[(2n+1)*(2n+3)]
    f(n+1)=(n+1)/(2n+3), que era o resultado esperado para demonstrar a 
indução. Prova-se, então, que para todo n, f(n)=n/(2n+1)
     Para calcular a soma infinita, basta calcular o limite de f(n) quando n 
tende a infinito, que é 1/2.
     Deve haver uma demonstração mais simples, sem ter que utilizar a função 
f(n)

To: "Lista da OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Uma soma interessante
>Date: Thu, 18 Jan 2001 10:55:20 -0300
>
>                 Estava terminando de fazer os exercícios do livro 
>fundamentos de mat. elementar vol 6, quando me deparei com uma questão que 
>não consegui fazer, é o seguinte:
>
>(1/1*3)+(1/3*5)+(1/5*7) +(1/7*9) + ...+ 1/[(2n-1)(2n+1)] + ...
>
>             Alguém tem idéia de com faz, não vale olhar a página de 
>respostas!
>
>                                                 Daniel

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