Re: Ajudem-me com este polinomio.

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Completando:
A sua equacao t^2-2t-(a-1)=0 so tem solucao real se a<=2, e as solucoes sao:
1+- raiz de 2-a.
Porem t=x+1/x   eh >=2 (se x>0) ou <=-2 (se x>0) [confira!].
Agora,   se a>1, a solucao t positiva seria <2 [confira!], enquanto que
se  -7 < a <=1, a solucao negativa seria > -2. Logo a tem que ser <= -7.
[Confira as contas, po favor]




-----Mensagem original-----
De: José Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 07:04
Assunto: Re: Ajudem-me com este polinomio.


>O raciocinio estah perfeito, mas houve um erro de conta no delta, que eh:
>4(2-a).
>
>-----Mensagem original-----
>De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 00:12
>Assunto: Re: Ajudem-me com este polinomio.
>
>
>>Vemos que 1 e -1 são raízes de p(x). Daí, este é divisível por (x^2-1).
>>Fazendo a divisão pelo algoritmo da divisão, temos o seguite quociente :
>> x^4 + 2x^3 + (a+1)x^2 + 2x + 1
>>Para acharmos suas raízes, devemos igualá-lo a zero, o q nos dá uma
equação
>>recíproca !! ..... x^2 [ (x^2 +1/x^2) + 2(x + 1/x) + a + 1 ] = 0
>>...........
>>.... fazendo x+1/x = t , temos x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2, daí a equação se
>>transforma em ...
>> x^2 ( t^2 -2t + a - 1 ) = 0
>>Como queremos raízes reais, o delta de t^2 - 2t +a + 1 = 0 deve ser maior
>ou
>>igual a zero..... delta = 4 - 4(a+1) = - 4a. Daí, temos a=<0 (I)
>> As raízes são t = 1 +- sqrt(-a)
>>E, t = x + 1/x.....
>> (i) x + 1/x = 1 + sqrt(-a)
>>        x^2 - (1 + sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= 0.... 1 - a +
>>2sqrt(-a) - 4 >= 0, ................. 2sqrt(-a) >= 3 + a. Para -3 =< a =<
>0,
>>temos -4a >= 9 + 6a + a^2... a^2+10a+9=<0 .......  -9=< a =< -1, o que
>>resulta em -3 =< a =< -1 (II)   ...................     Para a =< - 3,
>temos
>>a^2 + 10a + 9 >= 0, o que nos dá apenas dois intervalos a =< -9 e a >= -1,
>q
>>resulta em a =< -9 (III) !!!!
>>
>>(ii) x +1/x = 1 - sqrt(-a)
>>        x^2 - ( 1- sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= zero, daí, temos : 1 -
>2
>>sqrt(-a) -a -4>=0 ...   2sqrt(-a) =< -a -3, o q é absurdo, pois sqrt(-a)
>=
>>0
>>
>>Daí, unindo (I), (II) e (III) , temos a =< -9 ou -3=< a =<0.
>>Se não me engano, esta questão caiu no ITA em 97/98, e ñ sei se tinha essa
>>opção. Devo ter errado alguma conta.... confiram !
>>
>>   Abraços,
>>      ¡Villard !
>>
>>
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: Fabricio Damasceno <fdamas@mailbr.com.br>
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Data: Domingo, 3 de Dezembro de 2000 21:05
>>Assunto: Ajudem-me com este polinomio.
>>
>>
>>> Seja "a" um numero real tal que o polinomio
>>>p(x)= x^6 + 2x^5 + ax^4 - ax^2 - 2x -1 admite apenas raizes reais. Qual
>>>o intervalo real ao qual "a" pertence?
>>>MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br
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>>>
>>
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