Re: Lua algebrica

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal !
Tudo Legal ?

Na mensagem abaixo - do Prof Nicolau - deve-se entender que
o centro do segundo circulo deve estar na circunferencia do
primeiro circulo.

A "lua algebrica" a que se refere o Prof  era conhecida na
antiguidade por "LUNULA".  As lunulas foram muito estudadas
por varios matematicos daquela epoca. Em particular, por
Hipocrates. Este matematico divulgou que possuia um metodo
geral com o qual seria facil encontrar a area de qualquer
lunula, mas ninguem jamais conheceu tais tecnicas ...

Claramente que resolver o problema geral da area das lunulas
implica, em particular, em resolver o famoso "PROBLEMA DA
METADE DO PASTO", tambem conhecido por "PROBLEMA DO CAVALO
DO PRESIDENTE". Esta Questao - para quem nao a conhece -,
transposta para o ambiente usado pelo Prof Nicolau, consiste
em determinar o raio do segundo circulo de forma que a "lua
algebrica" tenha area igual a metade da area do primeiro
circulo.

Usando o contexto delineado pelo Prof Nicolau, seja N/D uma
fracao. N/D menor que um. Queremos caracterizar a lunula tal
que :

area da lunula  =  ( pi*N ) / D

Sejam, tambem :  "O", o centro do primeiro circulo ( de raio
igual a 1 ) ; "A", o centro do segundo circulo; "B" e "C",
os pontos onde este segundo circulo corta o primeiro. O
angulo BAC sera designado por 2*T. A corda AB ( ou AC ), por
L.

Ligando "O" com "B" e com "C", claramente que o angulo AOB (
ou AOC ) sera "pi - 2*T". Portando, o segmento circular ( do
primeiro circulo, raio = 1 ) subtendido pela corda AB tera
area :

SEG CIR =  (1/2)*( pi - 2*T - sen(2*T) )

O setor circular ( do segundo circulo, raio = L ) subtendido
pelo angulo BAO ( metade de 2*T ) tera area :

SET CIR = (1/2)*( T*(L^2) )

Logo, a area da lunula ( lua algebrica ) sera :

area da lunula = LUN =  pi  -  2*( SEG CIR  +  SET CIR )
LUN = sen(2*T) + (2 - (L^2) )*T

mas L^2 = 1^2 + 1^2 - 2*1*1*cos( pi - 2*T ), isto e:
L^2 = 2  +  2*cos(2*T)

Assim : LUN(T) = sen(2*T)  -  T*cos(2*T).

Aqui ja podemos explicar o fato observado pelo Prof Nicolau,
pois, claramente, o raio do segundo circulo ( raiz quadrada
de 2 ) e o lado do quadrado inscrito no primeiro circulo e,
portanto, T = pi/4  => 2*T = pi/2. Isto fornece :

LUN(pi/4) = 1 - (pi/4)*0 = 1

NOTA : No PROBLEMA DA METADE DO PASTO ( Eu prefiro essa
designacao. A expressao "O PROBLEMA DO CAVALO DO PRESIDENTE"
pode suscitar uma interpretacao ofensiva ... ) teremos N/D =
1/2 e portanto bastara caracterizarmos T tal que LUN(T) =
pi/2.

Voltando, agora, a nossa investigacao, queremos caracterizar
T de forma que LUN(T) = (pi*N)/D. Isto fornece a equacao :

sen(2*T) - T*cos(2*T) = (pi*N)/D

Eu chamo esta equcao de EQUACAO GERAL DAS LUNULAS.
Resolve-la equivale a esclarecer, em definitivo, o enigma da
area destes objetos geometricos ( lunulas ). O obstaculo que
ela nos coloca deriva da parcela T*cos(2*T), pois, caso nao
houvesse tal parcela, teriamos uma equacao trigonometrica
trivial, destas que aparecem em concursose olimpiadas.

A Expressao LUN(T) = sen(2*T) - T*cos(2*T) nao nos remete a
coisa alguma ... ? Ela lembra o que ... ? Claramente, e
muitissimo parecida com uma das equacoes parametricas da 

A EVOLUTA DO CICLO TRIGONOMETRICO

A evoluta de uma curva e o lugar geometrico dos centros de
curvatura. Quanto encontramos a evoluta de uma curva, esta
curva passa a chamar-se involuta ( em relacao a evoluta ).
Muitos autores chamam a evoluta de envoltorio. No caso
particular do ciclo ( ou de qualquer circulo ), a evoluta se
assemelha a um caracol.

As evolutas e as involutas admitem a seguinte propriedade:

A TANGENTE A INVOLUTA E PERPENDICULAR A EVOLUTA.

E possivel tracarmos a evoluta usando uma "tangente
deslizante". Vamos, a principio, deduzir as equcoes
parametricas da evoluta







































On Tue, 21 Nov 2000 19:20:36 -0200 (BRST)
"Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br> wrote:
>
>Trace um círculo de raio 1.
>Com centro em um ponto do primeiro círculo,
>trace um círculo de raio raiz de 2.
>A área da lua que está dentro do primeiro círculo e fora
>do segundo é 1.
>A conta é fácil, a resposta um pouco surpreendente.
>
>[]s, N.
>

                    
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