Re: trigonometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 21 Nov 2000, Luciano Castro wrote:

> filho wrote:
> 
> >  Demonstre que: 1/2 + cos x  +  cos 2x  +  cos 3x  + ... +  cos nx   =
> > sen [( n + 1 / 2 )x]  /  [2. sen ( x / 2 )] para x diferente de k. 2
> > pi, k inteiro.
> 
> Observe que cosx + cos2x + .... + cos nx  é igual à parte real do número
> complexo
> 
> e^ix + e^2xi + .... + e^nxi = e^ix ( (e^ix)^n - 1) / e^ix - 1.
> 
> Esta última igualdade foi obtida aplicando a fórmula da soma dos termos
> de uma PG. A forma mais fácil de simplificar o quociente de números
> complexos obtido é utilizar a identidade e^ix - 1 = 2isen(x/2)e^(x/2)i
> (Prove!!). Após esta substituição você não deve ter problemas para
> completar a solução.

A solução do Luciano está ótima, mas ele não incorporou aquele 1/2 inicial.
Claro que é só somá-lo de volta no final, mas um pouco de psicologia
perversa (;-)) nos leva a suspeitar que ele (o 1/2, não o Luciano)
deve estar ali por alguma razão... Fica tudo um pouco mais simples
se escrevermos

1/2 + cos x + ... + cos nx = 
1/2 ( e^-nix + e^-(n-1)ix + ... + e^nix ) =
1/2 ( e^(n+1)ix - e^-nix )/(e^ix - 1) =
1/2 ( e^(n+(1/2))ix - e^-(n+(1/2))ix )/(e^ix/2 - e^-ix/2) =
1/2 sen((n+(1/2))x)/sen(x/2)

Observe que em nenhum momento tomei uma parte real. []s, N.