Re: Questões de Trigonometria

["Douglas Coimbra de Andrade" <douglasca@xxxxxxxxxx>]

Vamos la resolver as questoes

Comecemos pela da Unicamp. Analisando a funcao x^2-2x, percebemos que sua
concavidade e para cima, e que ela tem vertice no ponto (x=1, y=-1). Assim,
queremos um `a` tal que -1>1/sen(a) para todo a. Passando o -1 para o outro
lado temos 0>1/sen(a)+1, ou seja, 0>(1+sen(a))/sen(a). Como o seno de um
ângulo varia entre -1 e 1, 1+sen(a)>=0, sendo que a igualdade ocorre quando
sen(a)=-1. Entao sen(a)<>-1 (x<>y significa x diferente de y). Assim, basta
que o denominador seja negativo e diferente de -1. A resposta fica:

{a e R/Pi<a<3Pi/2 ou 3Pi/2<a<2Pi} (a nao pode ser igual a Pi nem igual a
zero porque senao teremos divisao por zero)

Agora a questao da Mackenzie. Como na questao anterior, notemos que o
vertice de x^2+x esta no ponto (x=-1/2,y=-1/4). Entao, -1/4+tg(a)>3/4 o que
implica tg(a)>1.  Olhando o ciclo, vemos que tg(a)=1 para a=45 e que tg(a)
assume valores negativos para Pi/2<a<Pi. Assim, a resposta eh Pi/4<a<Pi/2,
pois se a estiver entre 0 e 45 sua tangente eh menor que 1. Letra B.

Agora a questao do ITA (o ITA tem umas que sao dureza). Eu ja vi as
resolucoes propostas, mas desenvolvi uma que achei melhor. Se
tg(x-y)=sqrt(3), entao x-y=60 ou x-y=60+180 (estou considerando como se x-y
fosse um angulo alfa, por exemplo). Se tg(x)tg(y)=1, entao x+y=90 (o produto
das tangentes de angulos complementares eh 90 - tome como exemplo 30 e 60,
45 e 45, etc.) Assim, somos reduzidos a dois sistemas de equacoes:

x+y=90
x-y=60

ou

x+y=90
x-y=240

As solucoes sao (x=75,y=15) ou (x=165,y=-75). Esta ultima solucao pode ser
transformada em (x=-15,y=-75). Como sabemos que tg(75)=-tg(-75) (isso eh
funcao par, impar ou nao tem nada a ver?) e que tg(15)=-tg(-15), o modulo
pedido eh constante. Vamos calcular para x=75 e y=15.

tg(15)+tg(75)=sen(15)/cos(15)+sen(75)/cos(75)=(sen(15)cos(75)+sen(75)cos(15)
)/(cos(15)cos(75))

Notemos que o numerador sen(15)cos(75)+cos(15)sen(75) eh igual a
sen(75+15)=sen(90)=1. O denominador, por sua vez, pode ser transformado em
sen(15)cos(15), visto que cos(75)=sen(15) (angulos complementares). Entao, a
questao se resume a calcular

1/sen(15)cos(15)=2/(2sen(15)cos(15)) mas como
2sen(15)cos(15)=sen(2*15)=sen(30), temos que

1/sen(15)cos(15)=2/(1/2)=4

A ultima e mais importante ja foi resolvida aqui na lista. Eu so gostaria de
fazer uma observacao: se voce conhece calculo diferencial, basta derivar e
resolver a derivada para zero. Assim:
f(x)=sen(x)+cos(x)

f'(x)=cos(x)-sen(x)

Quando a derivada eh zero temos cos(x)-sen(x)=0, cos(x)=sen(x), o que so
acontece para x=45 ou x=45+180. No entanto, ainda nao sabemos se cada um
desses pontos eh de maximo ou minimo.

Analisando a segunda derivada:

f''(x)=-sen(x)-cos(x)

f''(45)=-sqrt(2) (menor que zero; 45 eh um ponto maximo)
f''(45+180)=sqrt(2) (maior que zero; 45+180 eh um ponto minimo)

Assim sendo, o maior valor que a funcao assume eh sen(45)+cos(45)=sqrt(2), e
o menor valor que assume eh
sen(45+180)+cos(45+180)=-sen(45)-cos(45)=-sqrt(2)

Abracos
Espero ter ajudado. Aguardo comentarios e correcoes. Valeu!

Douglas


-----Mensagem original-----
De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 17 de Novembro de 2000 22:03
Assunto: Questões de Trigonometria


    Será que vcs poderiam resolver essas questões????

    (Unicamp-SP) Determine a, 0 =< a < 2pi, de modo que a desigualdade
x^2 -2x>1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R.

    (Mackenzie-SP) Se 0 =< a =< pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x +
tg a >3/4, então :

    a) 0< a < pi/4
    b) pi/4< a < pi/2
    c) pi/2< a < 3pi/4
    d) a=3pi/4
    e) nao existe a nessas condições

    (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy
= 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy.

    Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ?