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Re: Duas questõezinhas!!!



Perfeito, Trevisan!!!
Confirmo suas resoluções e respostas!!!
                                    LMF 
 
-----Mensagem original-----
De: Alexandre F. Terezan <aleterezan@wnetrj.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 16 de Novembro de 2000 01:34
Assunto: Re: Duas questõezinhas!!!

Resolvendo as questoes 1 e 2 ,ou tentando :-) ...
 
1) Sejam:
 
a = percentagem de entrevistados que consomem A, mas nao consomem nem B nem C
b = percentagem de entrevistados que consomem B, mas nao consomem nem A nem C
c = percentagem de entrevistados que consomem C, mas nao consomem nem A nem B
m = percentagem de entrevistados que consomem A e B, mas nao consomem C
n = percentagem de entrevistados que consomem B e C, mas nao consomem A
p = percentagem de entrevistados que consomem A e C, mas nao consomem B
x = percentagem de entrevistados que consomem A, B e C
 
A percentagem de entrevistados que consomem algo é 85%, logo:
 
a + b + c + m + n + p + x = 85    (I)
 
Por outro lado, se tomarmos que 32% não consomem A, 44% não consomem B e 34% não consomem C, temos:
 
b + c + n + 15 = 32   (32% não consomem A)
a + b + m + 15 = 34   (34% não consomem C)
a + c + p + 15 = 44   (44% não consomem B)
 
Somando as três equacoes, temos:
 
2a + 2b + 2c + m + n + p = 65   (II)
 
Fazendo  (I - II), vem:
 
x - (a + b + c) = 20, ou:
 
x = 20 + (a+b+c)
 
x será mínimo quando (a+b+c) = 0, ou seja, em tal caso, x = 20%
 
Basta verificar se é possível que haja a = b = c = (a+b+c) = 0
 
Isso é possível, resultando em m = 29%, n = 27% e p = 39%
 
Logo, a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é de 20%.
 
2) Resposta: d.
 
     a) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa afirmaçao é verdadeira (15 > 1 x 12) .
 
    b) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa afirmaçao também é verdadeira ( 15 > 2 x 7).
 
    e) Sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O) Imagine que a idade da pessoa A seja igual a 14a + a', a idade da pessoa B seja igual a 14b + b' e assim sucessivamente, até que a idade da pessoa O seja igual a 14o + o'. Todo Y' deve obedecer 0 <= y' <= 13
 
Ora, há 14 y' possíveis e 15 pessoas. Logo, há pelo menos duas pessoas q possuam o mesmo y'.
 
Sem perda de generalidade, seja a' = b'.
 
A diferenca de idade de A e B será: 14a + a' - 14b - b' =14a - 14b + a' - a' = 14 (a - b) , q é um múltiplo de 14.
 
Logo, esta afirmativa também é verdadeira.
 
    c) Seja y o número de pessoas q a pessoa Y conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
 
Sem perda de generalidade, seja a = 14, pelo enunciado.
 
Ora, nenhuma das outras pessoas pode conhecer ZERO pessoas, visto q A conhece todas (reciprocidade mencionada).
 
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Isto torna a afirmativa c verdadeira.
 
Caso ii) Nenhuma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Assim, há 13 "y" possíveis (1 <= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
 
Logo, a afirmativa c é verdadeira.
 
   
     d) Seja y o número de pessoas q a pessoa Y conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
 
Sem perda de generalidade, seja a = 0 (pelo enunciado)
 
Neste caso, visto q A nao conhece nenhuma pessoa, nenhuma das outras pessoas pode conhecer 14 pessoas (reciprocidade mencionada).
 
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece ZERO pessoas. Isto torna a afirmativa d falsa.
 
Caso ii) Cada uma das outras pessoas (q nao A) conhece mais de uma pessoa.
 
Assim, há 13 "y"s possíveis (1<= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
 
Isto torna a afirmativa d FALSA. 
 
UFA, espero ter ajudado.
 
[]'s , Alexandre Terezan.
 
----- Original Message -----
From: "Augusto Morgado" <morgado@centroin.com.br>
Sent: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 09:12
Subject: Re: Duas questõezinhas!!!

Bonitas questoes. A primeira (com outros numeros) caiu num vestibular da
UERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem resolve-la.

Via Lux wrote:
>
> Olá pessoal,
>
> Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos...
>
> E vcs que dizem?
>
> 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte
> resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C
> e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de
> entrevistados que consomem A,B e C?
>
> 2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar que:
>
> a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
>
> b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana
>
> c)se uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o
> mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco)
>
> d)se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas
> com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco)
>
> e) a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14
>
>                                                 Lembranças a todos,
>
>                                                                 Fui!
>
> Luciano M. Filho