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Re: 3^x=5



Claro que posso. Vou ser bem passo-a-passo. Olhe: se 3^x=5, e x é igual a p/q, entao 3^(p/q)=5.
Vou elevar os dois membros a q: 3^[(p/q)q]=5^q.
Cancelando os "q"s no expoente de 3, temos:
3^p=5^q. Mas lembre-se de que, se um número é racional, é resultado da divisão de dois inteiros; e x deve ser maior que zero, pois x<0 => 3^x<3<5, ou seja, 3^x não é igual a 5 se x<0. Então podemos admitir que os dois inteiros sao positivos (pois x eh positivo). E isso eh um absurdo: 3 elevado a um inteiro positivo soh tem fatores iguais a 3 (por exemplo, 3^3 =3x3x3) e 5 elevado a um inteiro numero positivo soh tem fatores iguais a 5 (por exemplo: 5^4=5x5x5x5). Entao como  3^p e 5^q podem ser iguais? A resposta eh: não podem. Entao, algo no raciocinio deve estar errado. Como fiz tudo rigorosamente certo desde que admiti que x=p/q, p e q inteiros, o erro soh pode estar nisso: p e q serem inteiros. Ou seja: x nao eh racional pois nao pode ser colocado como divisao de inteiros.
 
PS: A minha intuicao masculina me diz que x tambem deve ser trascedente, mas eu nao consigo provar (numero transcedente eh um numero que nao pode ser a raiz de um polinomio de coeficientes racionais - por exemplo, raiz de 3 nao eh transcedente porque x^2 -3 = 0 tem 3 como raiz, mas pi eh transcedente porque nehuma equacao de coeficientes racionais pode ter pi como raiz).