Re: vetores no espa�o?

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Jorge Peixoto Morais wrote:
> 
> ->Mensagem original de Ralph:
> Hmmm... � isso, mas falta multiplicar por um fator... e botar um
> m�dulo.... acho que � 1/6 vezes isso... Vejamos do jeito que eu sei
> fazer:
> 
> Considere os vetores ei=(Xi-X4;Yi-Y4;Zi-Z4) para i= 1,2,3. O que eu
> lembro � que o volume gerado pelo paralelep�pedo com lados e1, e2 e e3 �
> dado pelo m�dulo do produto misto:
> 
> e1.(e2 x e3) = [e1,e2,e3]

	Ok... O grande problema eh te convencer que v1.(v2 x v3) � de fato o
volume do paralelep�pedo de lados dados pelos vetores v1, v2 e v3... O
ponto ali � um produto escalar e o x � um produto vetorial. Mas como
voc� n�o conhece os vetores no espa�o, primeiro eu tenho que dizer algo
sobre o que s�o esses produtos... Isto vai ser longo, mas ainda assim
mais sucinto do que o assunto merece. Leia em tr�s partes, acostumando
com uma de cada vez...

--//--

	O PRODUTO ESCALAR

	Dados dois vetores em R^3, digamos, u e v, definimos o produto escalar
u.v como o seguinte N�MERO:

	|u||v|cos(alpha)

	onde alpha � o �ngulo entre os vetores u e v no plano determinado por u
e v. Usando a lei dos cossenos no tri�ngulo com lados dados pelos
vetores u, v e u-v, tem-se:

	|u|^2+|v|^2-2|u||v|cos(alpha)=|u-v|^2

isto �

	2 u.v = |u|^2+|v|^2-|u-v|^2

	Decomponha u e v em coordenadas, u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), fa�a a
conta acima (|u|^2 = u1^2+u2^2+u3^2, etc.) e chegue a:

	u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3

	(o lado esquerdo � o produto escalar de dois vetores, o lado direito
tem multiplica��es de n�meros reais)

	Esta a� � a express�o alg�brica de u.v (de fato, muita gente DEFINE o
produto escalar com a express�o alg�brica e depois PROVA que d� no mesmo
que a defini��o geom�trica acima).

	Em particular, note que u.v=0 se e somente se u e v s�o ortogonais
(perpendiculares), o que d� uma maneira alg�brica rapid�ssima de
verificar se dois vetores (u1,u2,u3) e (v1,v2,v3) no espa�o s�o
ortogonais (basta ver se u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0).

	Note que o �ngulo entre dois vetores no espa�o n�o � muito diferente do
que o �ngulo entre dois vetores no plano, e se mede em radianos
(estreorradianos � para medir �ngulos S�LIDOS, que � outra coisa).

--//--

	O PRODUTO VETORIAL

	Dados dois vetores em R^3, digamos, u e v, definimos o seu produto
vetorial u x v como um VETOR que tem as seguintes propriedades:

	i) Tal vetor tem TAMANHO |u||v|sin(alpha) onde alpha � o �ngulo entre u
e v (em outras palavras, seu tamanho � a �rea do paralelogramo
determinado por u e v).
	ii) A dire��o de tal vetor � perpendicular ao plano determinado por u e
v;
	iii) O sentido deste vetor � dado pela regra da m�o direita (isto �, se
voc� fechar a sua m�o direita come�ando com os 4 dedos apontando na
dire��o de u e terminando quando seus dedos apontam para v, mantendo seu
polegar im�vel, seu polegar apontar� na dire��o de u x v);

	Por exemplo, denote por i, j e k os vetores na dire��o dos eixos x, y e
z respectivamente, com tamanho 1, isto �, i=(1,0,0), j=(0,1,0) e
k=(0,0,1). Treine a defini��o verificando que:

	i x j = k	j x i = -k	i x k = -j
	j x k = i	k x j = -i	k x i = j
	i x i = j x j = k x k = 0 (o VETOR 0 aqui)	

	Em particular, note que v1 x v2 = -(v2 x v1) em geral e, portanto, a
ordem importa!

	A �lgebra aqui � um pouco mais feia... Uma maneira legal de achar uma
express�o alg�brica para u x v � provar primeiro que, para vetores a, b
e c quaisquer e um n�mero real s qualquer, tem-se:

	(sa) x b = s (a x b) (sai imediato da defini��o)
	(a+b) x c= (a x c)+(b x c) (sai por argumentos geom�tricos, mas d�
algum trabalho)

da�, como j� calculamos tudo nos vetores i, j e k, ter�amos ent�o:

	u x v = (u1 i + u2 j + u3 k) x (v1 i + v2 j + v3 k) =
	= (u2 v3 - u3 v2) i + (u1 v3 - u3 v1) j + (u1 v2 - u2 v1) k

que � a express�o alg�brica de u x v. A maneira mais f�cil de lembr�-la
� por um determinante (verifique-o):

		 |  i  j  k |
	u x v =  | u1 u2 u3 |
                 | v1 v2 v3 |

	Alternativamente, pode-se DEFINIR u x v atrav�s da express�o alg�brica
acima e ent�o verificar as afirma��es geom�tricas. Fa�a-o! Voc� tem que
checar que o vetor definido por	(u2v3-u3v2,u1v3-u3v1,u1v2-u2v1) � de
fato perpendicular tanto a u como a v (f�cil usando o produto escalar),
que tem tamanho |u||v|sin(alpha) (�lgebra feia, mas n�o � dif�cil; use a
express�o de |u||v|cos(alpha) do produto escalar e que sin^2+cos^2=1
para tirar esta); e que o sentido est� correto.

--//--

	O PRODUTO MISTO

	Enfim, dados tr�s vetores u, v e w, defina o produto misto [u,v,w] como
o N�MERO

	[u,v,w] = u.(v x w)

(note que v x w � um vetor, cujo produto escalar com u d� um n�mero).

	A express�o alg�brica pode ser obtida imediatamente a partir das
express�es alg�bricas do produto escalar e do produto vetorial, apesar
da coisa ser um pouco feia; a express�o alg�brica feia completa pode ser
escrita como um determinante:

                  | u1 u2 u3 |
	[u,v,w] = | v1 v2 v3 |
                  | w1 w2 w3 |

	Esta � a express�o que eu tinha escrito para o volume do
paralelep�pedo, a menos do m�dulo. Por que isto � o volume do
paralelep�pedo? 

	Bom, isso � um pouco dif�cil sem a figura... Desenhe a� um
paralelep�pedo (n�o necessariamente ret�ngulo) com v�rtices ABCD-EFGH
(ABCD � a base de baixo e EFGH � a base de cima). Digamos que AE � o
vetor u, AB � v e AD � w. O volume do paralelep�pedo � area da base
vezes altura; a �rea do paralelogramo-base � dada por |AB||AD|sin(alpha)
onde alpha � o �ngulo entre v e w, isto �:

	�rea da base = |v x w|

	E a altura? Desenhe a perpendicular ao plano ABCD que parte de E,
digamos, EI, onde I est� no plano EFGH. Seja beta o �ngulo entre AE e
EI. No tri�ngulo AEI, note que a altura tra�ada de E vale
|u|cos(beta).... Mas beta � tamb�m o �ngulo entre o vetor u (=AE) e o
vetor v x w (pois este � paralelo a EI, j� que ambos s�o perpendiculares
a EFGH). Ent�o:

	Volume = |u||v x w| cos(beta) onde beta � o �ngulo entre u e (vxw)

	Volume = |u.(vxw)|

como quer�amos demonstrar.

	--//--

	Depois disso tudo, voc� encaixa a demonstra��o que eu fiz de que o
volume do tetraedro � aquela express�o. Definitivamente, esta N�O � a
demonstra��o mais simples da f�rmula que voc� deu do volume do
tetraedro... mas � a mais instrutiva, j� que todos os conceitos acima
s�o bastante �teis.

	Abra�o,
		Ralph