Re: Gauss-Seidel

Bem, sei que já enviei esse problema, mas é de muita importância para mim resolvê-lo e após tentar muito, abrindo as situações para n=3, não cheguei a nenhuma conclusâo lógica. Portanto, quanquer ajudazinha que qualuqer um de vcs possam me enviar, seria útil, por exemplo: algumas implicações de a matriz ser simétrica e de ser definida positiva,

= Os fatos mais conhecidos aqui sao: uma matriz real simetrica tem todos os seus autovalores reais; autovetores correspondentes a autovalores diferentes sao mutuamente ortogonais; vale um tipo de "teorema espectral": a matriz pode ser escrita como soma de parcelas do tipo a^k E_k, onde os a sao os autovalores da matriz, e os E sao matrizes que representam "projecoes ortogonais", isto eh, sao idempotentes (E^2=E) e mutuamente ortogonais (E_i*E_k=0, quando i diferente de k). Estes fatos estao em qualquer compendio de matrizes. mas o que tem isto a vercom o Gauss-Seidel? Eh que em qualquer desses metodos iterativos para resolver sistemas de modo aproximado, o "erro" e_k no k-esimo passo se expressa em funcao do k-1 esimo passo como um produto matricial e_k=B*e_(k-1), o que implica e_n=B^n e_0, e ahi usa-se a forma espectral citada do B_n, a qual envolve as potencias dos autovalores. Em geral, uma condicao boa para convergencia eh algo do tipo: o autovalor de maior modulo tem modulo menor que 1, pois entao se recai na convergencia de uma certa PG de razao entre 0 e 1. A condicao que voce cita, eu nem sabia que era suficiente (e continuarei duvidando ateh ver a demonstracao). O Gilbert Strang (Linear Algebra and its Applications) fala de uma condicao semelhante (sem demonstrar) mas exige tambem a positividade dos elementos da diagonal principal. Veja tambem livros de Calculo numerico, do tipo Algebra Linear Computacional (nao tenho aqui d cabeca um).

ou algum detalhe que implique em algum teorema sobre matrizes ou algebra linear a partir da definiçâo, enfim, qualquer coisa serve, mesmo que sejá só a indicação de um livro que tenha algo relacionado, pois sei que existe um Teorema que é exatamente esse problema (ou seja, tirando o "mostre que" e afirmando ser verdade). Por favor.

Problema

Re: Gauss-Seidel - 2