Re: um teorema

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Marcelo,

Abaixo segue uma tentativa mais enxuta:

Seja A={ f(1),f(2),f(3),... } o conjunto imagem de f:N->N. 

Claramente que A e um conjunto de inteiros positivos ...
Entao, pelo PRINCIPIO DE BOA ORDENACAO, existe um menor
elemento. Seja f(p) este menor elemento. Isto nos permite
afirmar que :

f(i) >= f(p) para qualquer i natural.

Por outro lado, COMO A FUNCAO E NAO-CRESCENTE, tomando um n
> p
,devemos ter : 

f(n) <= f(p) sempre que n > p

Todavia, o caso f(n) < f(p) jamais vai ocorrer, pois f(p) e
o elemento minimo de A e f(n) pertence a A. Assim,
necessariamente, vai ocorrer :

f(n)=f(p) para todo n > p.

que e o que queriamos demonstrar.

Veja que o que e fundamental e o principio da boa ordenacao
e a propriedade nao-crescente da funcao.

Um Abraco
Paulo Santa Rita

On Thu, 05 Oct 2000 17:00:07 GMT
"Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com> wrote:
>olá pessoal da lista.
>Há um certo teorema que ainda não consegui entender
>relacionado a teoria de 
>números...mas precisamente na parte de mínimo, indução.
>- o teorema diz:
>- Toda função monótona não-crescente f:N->N é constante a
>partir de um certo 
>ponto. (isto é, existe n_0 pertencente a N tal que
>f(n)=f(n_0), para todo 
>n>=n_0).
>Demonstração: Seja n_0 o menor elemento do conjunto
>X={f(1), 
>f(2),...,f(n),...}. Então n>n_0 =>f(n)=<f(n_0)(porque a
>função f é 
>não-crescente) o que acarreta que f(n)=f(n_0)(porque
>f(n_0) é o menor 
>elemento de X).
>
>Este é o teorema com a demontração. Em parte, consegui
>entender a 
>demonstração. Mas me perdi todo... primeiro, afirma-se que
>n_0 é o menor 
>elemento de X, acompanhando esse raciocínio é óbvio que
>n>n_0, já que n_0 é 
>o mínimo, e pela função ser não-crescente, f(n)=<f(n_0),
>mas daí o ponto: 
>f(n)=f(n_0). Dá pra se entender que é igual se
>considerarmos
>f(n_0) o menor elemento, mas no início não foi considerado
>que n_0 era o 
>menor elemento? Agora f(n_0) e o menor? Alguém poderia me
>explicar...sei que 
>é uma pergunta fácil, mas est´pa me deixando sem resposta
>e cheio de dor de 
>cabeça...
>Obrigado
>Abraços
>Marcelo
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