Desafio de Fisica

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

O problema abaixo, com uma pequena modificacao que eu fiz,
apareceu como um desafio em uma lista de fisica. Valia um
Livro e a inclusao do nome em uma "Galeria de Campeoes".
Apenas dois estudantes apresentaram solucoes. 
 

PROBLEMA : De uma altura "H" - em relacao ao solo - larga-se
uma esfera pontual, homogenea, que choca-se elasticamente
com um plano inclinado situado abaixo. 

1) A inclinacao do plano em relacao ao solo e "G".
2) A distancia - medida ao longo do plano inclinado - entre
o ponto onde ocorre o primeiro choque e o ponto de contado
do plano com o solo e "L".

Que relacao deve existir entre "H", "G" e "L" para que o
ultimo contado entre entre a esfera e o plano seja
justamente no ponto de contado do plano com o solo ?








A solucao se aproxima






A solucao se aproxima




A solucao se aproxima



CHEGOU ...

SOLUCAO : Quando a esfera pontual toca o plano pela primeira
vez - ponto que designaremos por  "A" - ela ja percorreu uma
distancia  claramente igual a "H - L*sen(G)". Ela percorre
esta distancia em queda livre, partindo do repouso. Assim,
sua velocidade em "A" e :

(Va)^2 = 0^2 + 2*g*( H - L*sen(G) )  => Va = RAIZ_2( 2*g*( H
- L*sen(G) ) )

Ate chegar ao plano a esfera cai verticalmente. 

EM RELACAO AO PLANO, ela incide  com um angulo de "G" graus.
Este e tambem o angulo com o qual ela o abandona, pois os
choques sao elasticos. Apos abandonar o plano, atuara na
esfera exclusivamente a forca peso, vertical.  Isto implica
uma aceleracao "g". Todavia, se ...

Imaginarmos um referencial cuja origem esteja no ponto "A" e
cujo eixo das abscissas coincida com o plano inclinado, EM
RELACAO A ESTE REFERENCIAL, a esfera pontual possui :

1) uma "aceleracao vertical" - perpendicular ao plano -
igual a "g*cos(G)"
2) uma "aceleracao horizontal"  - paralela ao plano - de
"g*sen(G)"

A velocidade e angulo iniciais ja calculamos acima e,
portanto, as equacoes de lancamento de projeteis aplicaveis
sao :

Y(t) = Va*cos(G)*t  -  (1/2)*(g*cos(G))*(t^2)
X(t) = Va*sen(G)*t  +  (1/2)*(g*sen(G))*(t^2)

Nestas equacoes, "t" e o tempo. Claramente que o segundo
choque da esfera com o plano ocorrera quando : 

t > 0   e   Y(t) = 0. 

Resolvendo a equcao, achamos :  T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H -
L*sen(G) ) ) / g ).  Isto ocorrera no ponto de abscissa X(T)
= 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ), que e tambem o alcance da
primeira "corcova".

EM RELACAO AO REFERENCIAL QUE ADOTAMOS, as forcas atuantes,
responsaveis pelas aceleracoes  ja descritas, sao
perpediculares entre si e, portanto, uma nao interfere na
outra. 

Assim, o valor  T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H - L*sen(G) ) ) / g )
sera, doravante,  o intervalo de tempo, constante, entre
dois choques sucessivos. E portanto o periodo do Fenomeno. 

As abscissas dos pontos onde ocorrem os sucessivos choques
serao :

X(T) ,  X( 2*T ),  X( 3*T ),  X( 4*T ),  X( 5*T ),  ..., X(
N*T ), ...

E os alcances ( larguras das sucessivas "corcovas" =
diferenca entre duas "abscissas de choque" sucessivas )
respectivos serao :

A(1) = X( 2*T )  -  X( T )     =   8*sen(G)*( H  -  L*sen(G)
)
A(2) = X( 3*T )  -  X( 2*T )  = 16*sen(G)*( H - L*sen(G) )
A(3) = X( 4*T )  -  X( 3*T )  = 24*sen(G)*( H - L*sen(G) )
...
A(p) = X( (p+1)*T )  -  X( p*T ) =  8*p*sen(G)*( H -
L*sen(G) )

ou :

A(1) = 8*sen(G)*( H  -  L*sen(G) )
A(p) = p*A(1)         

O DesafiO da "Lista de Fisica" consistia em encontrar as
duas ultimas equacoes. Valia um livro e ter o nome
registrado em uma "Galeria de Campeoes", conforme ja falei.
Dois estudantes, de estados distintos, conseguiram a
"facanha". A solucao deles, entretanto - bastante grande -
foi por um caminho diferente ... 

Para cumprir a condicao de simetria de nosso problema,
devemos impor que a abscissa do N-esimo choque seja L, isto
e:

X(N*T) = L,  ( N um natural positivo qualquer = o numero de
saltos ),

isto fornece :
 
N^2 + N = L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ).   

Assim, a relacao que buscamos e que

L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ). seja um natural da forma
N^2 + N, onde N e o numero de saltos ( "corcovas" ).

Ve-se que a equacao encontrada e consistente, pois nao
havera solucao se :

1) Se sen(G) = 0, isto e, G = 0 ou G = pi.. Fisicamente isso
significa que o plano estara na horizontal e, portanto, nao
pode haver saltos.
2) Se H - L*sen(G) = 0, isto e, sen(G) = H/L. Fisicamente
isso significa que estamos soltando a esfera de uma altura
igual ao cateto oposto ao angulo G e, portanto, a esfera vai
rolar sobre o plano : nao pode pular, consequentemente.
3) Se H - L*sen(G) < 0. Fisicamente, isto significa soltar a
esfera de um ponto abaixo do plano.

Em geral, uma equacao da Fisica bem formulada costuma
conhecer os fenomenos sob investigacao melhor que o
Cientista que a formulou. Na nossa equacao, se sen(G)=1, ela
admite solucoes. Ora, neste caso, o plano "inclinado" estara
"em pe", na vertical ... Como interpretar fisicamente isso ?

Bom, continuando. Como A(1) = 4*sen(G)*( H  -  L*sen(G) ), a
relacao que obtemos pode ser colocada como segue :

2*L / A(1) = N^2 + N

Nos tomamos o caminho natural de interpretar um fenomeno,
formular as equacoes pertinentes e dar uma explicacao fisica
para as limitacoes desta equacao. Podemos fazer o caminho
inverso ? Vale dizer, podemos derivar algum fato
interessante sobre os numeros usando a equacao fisica ?

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,0952,22092000
    
                
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