Re: Sen 18º e Phi

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

No livro do Knuth, "The Art of Computer Programming",
encontramos a resposta.

Sejam $u=\cos 72\circ,\ v=\cos 36\circ$. Temos
$u=2v^2-1$; $v=1-2\sin^2 18^\circ=1-2u^2$.
Logo, $u+v=2(v^2-u^2)$, i.e., $1=2(v-u)$, Ent~ao,
$4v^2-2v-1=0$. Assim, $v=\phi/2$, onde $\phi$
'e a raiz positiva de $x^2-x-1=0$.

Calculando o valor de $\sin 18^\circ$ em fun,c~ao das
vari'aveis acima, vem:

$$\sin 18^\circ = {\sqrt{2-\phi}\over2} = {1\over4} ( \sqrt5 - 1 ).$$

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: David Pereira <david.pereira@samnet.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 7 de Setembro de 2000 20:36
Assunto: Sen 18º e Phi


Ouvi dizer que existia uma relação entre o cálculo do seno de 18º e o número
Phi, da série de Fibonacci.

Realmente existe essa relação e, se existir, qual é e como ela pode ser
explicada?

[]s
David