Re: sobre conjunts do além

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 12 Sep 2000, Benjamin Hinrichs wrote:

> Lendo mensagens sobre bijeções, conjuntos enumeraveis e tal (casualmente um
> assunto atual da lista, já que meu relógio biológico deve estar atrasado em
> mais de um mês... estou totalmente perdido no espaço-tempo... enfim...) me
> caiu uma dúvida:
> eixstem conjuntos com números não contidos no conjunto dos reais e no
> conjunto dos complexos? Não consigo imaginar nenhum... mas meu conhecimento
> nessa área...
> 
> Abraço,
> 
> Benjamin Hinrichs

Não sei se entendi bem sua pergunta, então vão aí duas linhas de respostas:

(a) existem números de vários tipos: naturais, inteiros, racionais, reais,
    complexos; existe alguma outra classe de números ainda maior?

    A resposta é sim, mas no fundo tudo depende do que se entende por número.
    Algumas classes de objetos classicamente conhecidos como números são:

    (i) cardinais infinitos; a generalização do conceito de "quantos
        elementos tem este conjunto" para conjuntos infinitos,
        assunto do e-mail anterior.

    (ii) ordinais infinitos: estes generalizam o processo de contagem.
        Depois de 0, 1, 2, 3,... nada nos impede de continuar com
        w, w+1, w+2, w+3, ..., w2, w2+1, ..., w3, ..., w4, ..., ..., w^2,
        w^2+1, ..., w^3, ..., ..., w^w, ..., ..., w^w^w, ..., w^w^w^w, ...
        (onde w é a letra grega omega minúsculo).

    (iii) números surreais de Conway. Estes generalizam os reais incluindo
        números infinitamente grandes (como w), infinitesimais (como 1/w)
        mas também permitem operações algébricas (como sqrt(w)).

(b) existe algum conjunto X que seja ainda maior do que C, i.e., |X| > |C|?

    Novamente a resposta é sim. O exemplo mais fácil é
    P(C) = { Y | Y é subconjunto de C } mas sempre existem conjuntos maiores.

[]s, N.