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Re: dizima



Muito obrigado, pela ajuda!
 
-----Mensagem original-----
De: Alexandre F. Terezan <aleterezan@wnetrj.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 2 de Agosto de 2000 01:04
Assunto: Re: dizima

Caro Carlos,
 
 Sabe-se que quando o periodo da representacao decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como é o caso de n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1) possuirá um período composto pelos mesmos algarismos do periodo de 1/n, na mesma ordem circular, mas variando a posição dos algarismos (A demonstracao se encontra na Eureka 1)
 
 Trocando em miúdos, se 1/n = 0,abcdefabcdefabcdef...  há um r para o qual r/n = 0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo de representacao decimal das fracoes.
 
Assim, sendo 1/97 = 0,abcdef....vxyzabcdef....vxyzabcdef....vxyz... , deve haver um k (1 < k < 97) tal que:
 
k/97 = 0,xyzabcdef....vxyzabcdef....vxyzabcdef....v...
 
Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z +  0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz...
 
Ou:  1000k/97 = 100x + 10y + z + 1/97
 
E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z.  Seja 100x + 10y + z = H.
 
Assim, 1000k - 1 = 97H  -->  97H = 1000(k-1) + 999, logo os 3 últimos algarismos de 97H sao 9s.
 
Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos.
 
Para que um 97H termine em 9, H deve ser um número da forma 10i + 7.
 
Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i + 6) + 10(7i + 7) + 9
 
Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6.
 Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6.
 
97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j + 4) + 99
 
Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar em 9, ou seja, 7j termina em 5.
Isto ocorre se e somente se j for um número da forma 10m + 5.
 
Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67 = 100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H terminará em 999, o que nos dá um k inteiro.
 
Para m > 0, no entanto, H > 1566 e, portanto, 97H > 151902.
Assim, 1000k > 151903  -->  k > 151 , o que nao é possivel, pois 0 < k < 98
 
Logo, m = 0 --> H = 567 --> 1000k = 55000  --> k = 55
 
Como H = 100x + 10y + z , com x,y,z inteiros nao-negativos menores que 10:
 
100x + 10y + z = 567 -->  x = 5    y = 6    z = 7
 
Portanto, o último algarismo do período de 1/97 é  7
              o penúltimo algarismo do período de 1/97 é  6
              o antepenúltimo algarismo do período de 1/97 é  5
 
Abraços, Terezan
 
Espero ter ajudado.           
 
 
----- Original Message -----
Sent: Terça-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29
Subject: dizima

Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com 96 algarismos no período. Como determinar os três últimos algarismos desse período?