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Caro mtu,
Sua resolução me parece perfeitamente correta, mas
deve-se lembrar que a questão poderia ser discursiva e o valor mínimo de q
poderia ser alto o suficiente para que tal resolução por "tentativa"
não fosse eficiente e muito menos prática.
Uma maneira simples de resolver a questão seria:
Seja p = q - k (k natural maior q zero), já que p
< q (pois p/q < 11/15 < 1)
Então 7/10 < (q - k)/q < 11/15
Daí, 7q < 10q - 10k --> 3q > 10k --> q >
10k/3
15q - 15k < 11q --> 4q
< 15k --> q < 15k/4
Assim sendo, 10k/3 < q < 15k/4
Ou, 3k + k/3 < q < 3k + 3k/4 (CONDIÇÃO 1)
Como 3k e q são ambos naturais, conclui-se que: a + [k/3] = [3k/4],
sendo a natural maior do que zero.
Ora, como se procura o menor q (logo, o menor k natural satisfazendo a
condição 1), entao a = 1 e assim:
[3k/4] = 1 --> 3k/4 > 1 --> k > 4/3
[k/3] = 0 --> k/3 < 1 --> k < 3
4/3 < k < 3 --> k = 2.
Assim, da condição 1, vem: 6 + 2/3 < q < 6 + 6/4 --> 6
+ 2/3 < q < 7 + 1/2 --> q = 7
Para todo k q satisfaça a condição 1, encontramos p/q tal que 7/10 < p/q
< 11/15
k = 3 --> q = 11 --> p = 8 --> 7/10 < 8/11 <
11/15
k = 4 --> q = 14 --> p = 10 --> 7/10 < 10/14 <
11/15
k = 5 --> q = 17 --> p = 12 --> 7/10 < 12/17 < 11/15
k = 5 --> q = 18 --> p = 13 --> 7/10 < 13/18 <
11/15
etc etc etc
Abraços, Alexandre Terezan
----- Original Message -----
From: "mtu" <mtu@brasnet.org>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 03:51
Subject: Re: Questão das Olimpíadas > Olá pessoal!Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me > ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua > resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são > inteiros positivos tais que 7/10 < p/q < 11/15 , o menor valor que q > pode ter é: > > A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 > Agradeço antecipadamente. Acho q a resposta seria B, p/q deve ser um numero entre 0,7 e 0,733..., entao pensei da seguinte forma se usar q = 6, joguei como possibilidade para p os numeros 5 e 4, 5/6 eh entao um numero maior que 0,733.. e 4/6 eh um numero menor q 0,7, ou seja, q != 6, repeti o processo com 7 e descobri q se p=5 e q=7(5/7) sera um numero q se encaixa na desigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor que 'q' pode assumir eh 7. Nao sei se esse eh o meio mais pratico de resolver o problema, mas me parece correto... []'s |