Re: Combinatoria

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

	Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras.

Primeira maneira:

	Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado
da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é
fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora
"fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à
outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a
arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é,
BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à
BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras.
Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de
corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços
entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa
prateleira.)
	Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54.

Segunda maneira:

	Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer
posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar
a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais
52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos
dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos
perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos
ao resultado tão cedo.
	Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo.
Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição.
Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale
lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou
seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o
verdadeiro número de arrumações é M/6.

	E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a
mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos.

Aguardo apreciação de todos.
Um abraço,
Alexandre Tessarollo

Ecass Dodebel wrote:
> 
> "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um
> circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16
> bolas verdes, 24 bolas amarelas?"
> 
> O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem
> rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem).
> 
> Obrigado!
> 
> Eduardo Casagrande Stabel.
> ________________________________________________________________________
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